Seja f : R ⟶ R uma função contínua tal que f 0 = f ( 2 ) e defina g : R ⟶ R   por g x = f x - f ( x - 1 ) . Considere as afirmações:

  • g não é contínua
  • g 1 + g 2 = 0
  • Existe a   ϵ   1,2 tal que f a = f a - 1
  • lim x ⟶ 0 ⁡ g e 4 x + g t g 2 x x = 0
  • g 1 = f 1 - f ( 2 )
  • Se f x = x ( x - 2 ) então g x = 2 x + 3

Então o número exato de afirmações incorretas é:

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3
  5. 4
  6. 5
  7. 6

Não é necessário justificativa.

Passo 1

Galerinha, nesse problema, nós vamos analisar cada uma das afirmativas e vamos determinar se elas estão corretas ou incorretas! Vamos na primeira:

g não é contínua”

Bom, vamos olhar como a função g é composta:

g x = f x - f ( x - 1 )

Ela nada mais é do que a subtração entre duas funções de f ( x ) , no enunciado é dito que a função f ( x ) é contínua. Se uma função é composta apenas por funções contínuas, ela é contínua. Logo, como g ( x ) é composta apenas por f ( x ) , então podemos dizer que g ( x ) também é uma função contínua!

Logo, essa afirmativa é INCORRETA!

Passo 2

A segunda afirmativa é a seguinte:

g 1 + g 2 = 0

Vamos calcular quem é g ( 1 ) e quem é g ( 2 ) :

g x = f x - f x - 1

Logo:

g 1 = f 1 - f 1 - 1 = f 1 - f 0

Agora substituindo x = 2 :

g 2 = f 2 - f 2 - 1 = f 2 - f 1

Vamos voltar a nossa soma principal:

g 1 + g 2 = f 1 - f 0 + f 2 - f 1

Somando todos os termos, ficamos com:

g 1 + g 2 = f 2 - f 0

Como o enunciado nos disse que:

f 2 = f 0

Então:

g 1 + g 2 = f 2 - f 0 = f 2 - f 2 = 0

g 1 + g 2 = 0

Então a afirmativa inicial está CORRETA!

Passo 3

A próxima afirmação é:

“Existe a   ϵ   1,2 tal que f a = f a - 1

Bom pessoal, nessa questão, sabemos que:

f 2 = f 0

Substituindo a nossa variável a por 2 :

a = 2

Então sabemos que a relação da afirmação se torna:

f 2 = f 2 - 1 = f 1

O que não é real, logo a afirmativa é INCORRETA!

Passo 4

Vamos pra próxima afirmação:

lim x ⟶ 0 ⁡ g e 4 x + g t g 2 x x = 0

Bom, ao invés de usar g ( x ) , vamos substituir os valores de x em f ( x ) :

g x = f x - f x - 1

Então:

g e 4 x = f e 4 x - f e 4 x - 1

g t g 2 x x = f t g 2 x x - f t g 2 x x - 1

Vamos colocar na equação da nossa afirmativa:

lim x ⟶ 0 ⁡ g e 4 x + g t g 2 x x = l i m x ⟶ 0 f e 4 x - f e 4 x - 1 + f t g 2 x x - f t g 2 x x - 1

Como estamos aplicando o limite a toda essa expressão de soma e subtração de funções, podemos aplicar o limite a essas partes separadamente:

lim x ⟶ 0 ⁡ g e 4 x + g t g 2 x x = l i m x ⟶ 0 f e 4 x - l i m x ⟶ 0 f e 4 x - 1 + l i m x ⟶ 0 f t g 2 x x - l i m x ⟶ 0 f t g 2 x x - 1

Como eu não sei quem é essa função f , posso jogar o limite dentro do meu argumento dessa função:

lim x ⟶ 0 ⁡ g e 4 x + g t g 2 x x = f l i m x ⟶ 0 e 4 x - f l i m x ⟶ 0 ( e 4 x - 1 ) + f l i m x ⟶ 0 t g 2 x x - f l i m x ⟶ 0 t g 2 x x - 1

Agora temos 4 limites menores pra resolver!

Vamos pensar no primeiro limite:

l i m x ⟶ 0 e 4 x

Quando substituímos x = 0 , então se torna:

l i m x ⟶ 0 e 4 x = e 4 ⋅ 0 = e 0 = 1

Então quando verificamos o próximo limite:

l i m x ⟶ 0 e 4 x - 1 = e 4 ⋅ 0 - 1 = 1 - 1 = 0

Então:

l i m x ⟶ 0 e 4 x - 1 = 0

Vamos para o próximo limite:

l i m x ⟶ 0 t g 2 x x

Substituindo o valor de x = 0 , chegamos em:

l i m x ⟶ 0 t g 2 x x = t g 0 0 = 0 0

A uma indeterminação 0 / 0 , então nesse caso, podemos usar a técnica do L’Hospital:

l i m x ⟶ 0 t g 2 x x = l i m x ⟶ 0 t g 2 x ' x '

No numerador, vamos ter que aplicar a Regra da Cadeia, pois existe uma função de x dentro de outra função:

t g 2 x ' = 2 x ' ⋅ t g 2 x ' = 2 ⋅ sec 2 ⁡ 2 x

Voltando ao nosso limite, nós temos:

l i m x ⟶ 0 t g 2 x x = l i m x ⟶ 0 t g 2 x ' x ' = l i m x ⟶ 0 2 ⋅ sec 2 ⁡ 2 x 1

Agora sim, substituindo o valor de x = 0 :

l i m x ⟶ 0 t g 2 x x = 2 ⋅ sec 2 ⁡ 2 ⋅ 0 1 = 2 ⋅ sec 2 ⁡ 0 1 = 2 ⋅ 1 1 = 2

Então se:

l i m x ⟶ 0 t g 2 x x = 2

Então o limite:

l i m x ⟶ 0 t g 2 x x - 1 = 2 - 1 = 1

Vamos colocar esses limites calculados dentro de nossa função f :

lim x ⟶ 0 ⁡ g e 4 x + g t g 2 x x = f l i m x ⟶ 0 e 4 x - f l i m x ⟶ 0 e 4 x - 1 + f l i m x ⟶ 0 t g 2 x x - f l i m x ⟶ 0 t g 2 x x - 1 = f 1 - f 0 + f 2 - f 1

Então nossa expressão foi simplificada a:

lim x ⟶ 0 ⁡ g e 4 x + g t g 2 x x = f 1 - f 0 + f 2 - f 1

Como já fizemos anteriormente, vamos substituir:

f 0 = f 2

lim x ⟶ 0 ⁡ g e 4 x + g t g 2 x x = f 1 - f 2 + f 2 - f 1

Fazendo essa conta, encontramos:

lim x ⟶ 0 ⁡ g e 4 x + g t g 2 x x = 0

Ou seja, a afirmativa é CORRETA!

Passo 5

A próxima afirmação é:

g 1 = f 1 - f ( 2 )

Vamos relembrar quem é g ( 1 ) :

g x = f x - f x - 1

Logo:

g 1 = f 1 - f 1 - 1 = f 1 - f 0

Mas como sabemos dessa relação:

f 2 = f 0

Podemos substituir em g ( 1 ) :

g 1 = f 1 - f 0 = f 1 - f 2

Então apenas manipulamos para encontrar a nossa afirmativa, ela é CORRETA!

Passo 6

Por fim, a última afirmação é:

“Se f x = x ( x - 2 ) então g x = 2 x + 3

Nesse caso, basta substituir a expressão de f ( x ) dentro de g ( x ) , veja:

g x = f x - f ( x - 1 )

Só não se esqueça de mudar os elementos dentro da função de x por x - 1 no caso de f ( x - 1 ) :

f x = x ( x - 2 )

f x - 1 = ( x - 1 ) ( x - 1 - 2 )

Substituindo em g ( x ) :

g x = f x - f x - 1 = x x - 2 - ( x - 1 ) ( x - 1 - 2 )

g x = x x - 2 - ( x - 1 ) ( x - 3 )

Vamos multiplicar esses elementos:

g x = ( x 2 - 2 x ) - ( x 2 - 3 x - x + 3 )

Vamos simplificar:

g x = ( x 2 - 2 x ) - ( x 2 - 4 x + 3 )

E agora subtrair:

g x = x 2 - 2 x - x 2 + 4 x - 3 = 2 x - 3

g x = 2 x - 3

Pegou a malícia dessa questão? Quase que passa despercebido o sinal do - 3 , mas ainda bem que vimos que:

2 x - 3 ≠ 2 x + 3

Logo a afirmativa é INCORRETA!

Resposta

O número de afirmativas incorretas é igual a 3.

L e t r a   D

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1