Seja f a função definida por:

f x = x + 2 ,     s e   x < - 2 x 2 + x - 2 ,     s e - 2 ≤ x ≤ 1 4           ,     s e   x > 1

Determine o domínio de f , esboce seu gráfico e determine sua imagem, I m ( f ) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma função f ( x ) que tem diferentes formatos dependendo do intervalo em que ela se encontra:

f x = x + 2 ,     s e   x < - 2 x 2 + x - 2 ,     s e - 2 ≤ x ≤ 1 4           ,     s e   x > 1

E ele pediu pra gente encontrar o domínio e a imagem dela, além de esboçar seu gráfico. Tá bom, mas o que é domínio e imagem mesmo?

Bom, o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis que a variável independente da função pode assumir. E quem é a variável independente? No nosso caso, como temos uma f ( x ) – uma função que depende de x – a nossa variável independente é o x .

Beleza, e a imagem da função? Enquanto o domínio tá relacionado com a variável independente, a imagem tá associada com a variável dependente. Ou seja, são todos os valores que a variável dependente irá assumir. Tranquilo, então o x tá relacionado ao domínio e o f ( x ) à imagem.

Agora como é que eu faço pra encontrar esses valores que x pode ou não assumir na função e garantir sua existência? Vamos analisar nossa função para descobrir.

Passo 2

Os valores que x não pode assumir na função são as chamadas restrições. O domínio nem sempre vai ser um conjunto completo, muitas vezes, a variável independente não poderá assumir alguns valores específicos. Mas quais seriam esses valores?

No nosso caso, temos a função:

f x = x + 2 ,     s e   x < - 2 x 2 + x - 2 ,     s e - 2 ≤ x ≤ 1 4           ,     s e   x > 1

Isso me diz que quando x é menor que - 2 , f x = x + 2 ; quando x tá entre - 2 e 1 , f x = x 2 + x - 2 ; e quando x é maior do 1 , f x = 4 . Então, a f ( x ) pode assumir essas três formas e nós temos que avaliar em cada intervalo como ela se comporta.

Quando x < - 2 , nossa f ( x ) é uma reta crescente:

Ela não chega a cortar o eixo em - 2 , porque o nosso intervalo só vai até ali nesse caso. O esboço é só pra gente perceber que essa função não tem restrições, porque ela pode ir de - ∞ até e x pode assumir qualquer valor.

Passo 3

Agora analisando a segunda parte da função, quando - 2 ≤ x ≤ 1 , temos:

f x = x 2 + x - 2

Olhando pra essa função a gente percebe que se trata de um polinômio, que nada mais é do uma soma de potência naturais de x com coeficientes constantes. Nesse caso, o nosso polinômio é de segundo grau, mas não importa o grau, o que importa é que o domínio de qualquer polinômio é R = ( - ∞ ,   ∞ ) . Isso, porque o x não vai ter nenhuma restrição, ele pode assumir qualquer valor e nós podemos visualizar isso olhando o gráfico:

Pra gente, nesse caso, só interessa a parte de baixo da curva, que vai de - 2 a 1 , onde tá o intervalo da nossa função. Mas a gente percebe que pra qualquer valor, ela estaria definida e por isso o domínio é ( - ∞ ,   ∞ ) .

Passo 4

Agora analisando a última parte da nossa função, quando x > 1 , temos:

f x = 4

Que é uma função constante. Como ela independe do valor de x , o nosso domínio continuaria em ( - ∞ ,   ∞ ) . E, começando de x = 1 , o gráfico seria isso aqui:

Mas observe que ele diz x > 1 , então o ponto 1 não está definido. Isso vai ficar mais claro quando a gente juntar os três gráficos, afinal de contas eles definem uma única função f ( x ) .

Passo 5

Juntado tudo, nós temos:

Nós vimos que o nosso domínio está em ( - ∞ ,   ∞ ) . Então,

D f = x ∈ R     ∞ < x < ∞ }

Agora, lembra que no passo 1 nós falamos que a imagem está relacionada aos valores que f ( x ) irá assumir? Olhando para o gráfico, a gente consegue ter uma ideia dessa valores, baseados nos intervalos da função.

A gente percebe que nossa função é contínua de - ∞ até 0 , e aí f x < 0 . Depois, quando a parábola termina no gráfico da figura acima, ela passa a ser f x = 4 , para x > 1 . Traduzindo isso matematicamente, a nossa imagem é:

I m f = f x ∈ R     f x < 0   o u   f x = 4 }

Outra forma de descrever é usando o símbolo de união entre os intervalos:

I m f = f x ∈ R     - ∞ ,   0 ∪ f x = 4 }

Prontinho, encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

D f = x ∈ R     ∞ < x < ∞ }

I m f = f x ∈ R     - ∞ ,   0 ∪ f x = 4 }

G r á f i c o   d o   p a s s o   5

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1