Seja f a função definida por

f x = - 3 ,     s e   x < - 1 x 2 + 1 ,     s e - 1 ≤ x < 0 ( x + 1 ) ( x - 2 ) x - 2 ,     s e   0 ≤ x < 3 4 ,       s e   x ≥ 3

d) f é contínua no intervalo fechado - 1 2 , 1 ? Justifique.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma função definida por partes, onde ela apresenta uma lei de formação diferente pra cada intervalo considerado, e nós precisamos verificar se ela contínua no intervalo fechado - 1 2 , 1 .

Dizemos que uma função f ( x ) é contínua em um intervalo fechado [ a ,   b ] , se as seguintes condições são satisfeitas:

a) f ( x ) é contínua em ( a ,   b )

b) f ( x ) é contínua a direita em a , isto é, f a = lim x → a + ⁡ f ( x )

c) f ( x ) é contínua à esquerda em b , isto é, f b = lim x → b - ⁡ f ( x )

Vamos analisar cada intervalo e verificar a lei de formação da função naquele intervalo, e calcular os limites para ver se a função atende as condições.

Vamos lá!

Passo 2

A primeira condição a ser satisfeita é de que f ( x ) seja contínua no intervalo aberto - 1 2 ,   1 . Isso acontece quando f é contínua em todos os pontos desse intervalo, o que acontece na nossa função, a gente pode perceber observando o intervalo no gráfico:

Testando a continuidade à direita, em - 1 2 , temos:

lim x → - 1 2 + ⁡ f ( x ) = l i m x → - 1 2 + x 2 + 1 = 5 4

Calculando f - 1 2 , temos:

f - 1 2 = - 1 2 2 + 1 = 5 4

Então, f - 1 2 = lim x → - 1 2 + ⁡ f ( x ) .

Agora testando a continuidade à esquerda, temos:

lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = lim x → 1 - ⁡ x + 1 x - 2 x - 2 = 2

E f 1 = 1 + 1 1 - 2 1 - 2 = 2 . Logo, f 1 = lim x → 1 - ⁡ f ( x ) .

Como as três condições são satisfeitas, podemos dizer que f ( x ) é contínua em - 1 2 , 1 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

f   é   c o n t í n u a   e m   - 1 2 , 1

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Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1