Seja f a função definida por

f x = - 3 ,     s e   x < - 1 x 2 + 1 ,     s e - 1 ≤ x < 0 ( x + 1 ) ( x - 2 ) x - 2 ,     s e   0 ≤ x < 3 4 ,       s e   x ≥ 3

c) f é contínua em x = - 1 ? E em x = 2 ? Justifique.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma função definida por partes, onde ela apresenta uma lei de formação diferente pra cada intervalo considerado, e nós precisamos verificar se ela contínua em x = - 1 e em x = 2 .

Dizemos que uma função f ( x ) é contínua em x = a quando lim x → a ⁡ f ( x ) existe, ou seja:

lim x → a - ⁡ f ( x ) = lim x → a + ⁡ f ( x )

E quando lim x → a ⁡ f ( x ) = f ( a ) .

Vamos analisar cada intervalo e verificar o formato da curva correspondente a função naquele intervalo, e calcular os limites para ver se a função atende as duas condições.

Vamos lá!

Passo 2

Quando x = - 1 , nossa função é definida por:

f x = x 2 + 1

Calculando os limites laterais, temos:

lim x → - 1 - ⁡ f ( x ) = lim x → - 1 - ⁡ ( x 2 + 1 ) = 2

lim x → - 1 + ⁡ f ( x ) = lim x → - 1 + ⁡ ( x 2 + 1 ) = 2

Como os limites laterais são iguais, podemos dizer que o limite existe naquele ponto. Agora vamos verificar se lim x → a ⁡ f ( x ) = f ( a ) , fazendo:

f - 1 = - 1 2 + 1 = 2

Logo, a função é contínua em x = - 1 .

Passo 3

Agora vamos verificar o que acontece quando x = 2 . Nesse caso, temos f x = ( x + 1 ) ( x - 2 ) x - 2 .

Calculando seus limites laterais quando x se aproxima de 2 , temos:

lim x → 2 - ⁡ f ( x ) = lim x → 2 - ⁡ x + 1 x - 2 x - 2 = 3

lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = lim x → 2 + ⁡ x + 1 x - 2 x - 2 = 3

Como os limites laterais são iguais, podemos dizer que o limite existe naquele ponto.

Agora vamos verificar se lim x → a ⁡ f ( x ) = f ( a ) , fazendo:

f 2 = ( 2 + 1 ) ( 2 - 2 ) 2 - 2 = 3 ∙ 0 0

Repare que a gente teria uma indeterminação 0 0 , e lim x → 2 ⁡ f ( x ) ≠ f ( 2 ) . Portanto, a função é descontínua no ponto.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

f   é   c o n t í n u a   e m   x = - 1

f   é   d e s c o n t í n u a   e m   x = 2

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1