Seja f a função definida por:

f x =   x 2 - a x + 3 x - 1 ,       s e   x < 1 b x + 1 ,       s e   x ≥ 1

Determine os valores de a e b para que f seja contínua.

Passo 1

Falaaa, blz?? Bora lá para mais uma questãozinha dessa prova.

Esse tipo de questão é bem importante para entender o conceito de continuidade, bora dar uma lembrada nesse conceito?

De forma um pouco menos formal, dizemos que f é contínua, se em cada ponto a de f temos:

lim x → a + ⁡ f ( x ) = lim x → a - ⁡ f ( x ) = lim x → a ⁡ f ( x ) = f ( a )

Passo 2

Veja que na questão teremos problema apenas no ponto x = 1 , uma vez que para caras maiores que 1 a função será um polinômio (contínuo) e para caras menores que 1 a função será a divisão de polinômios (contínua)

Ou seja, basta que a gente force que ocorra o que foi falado no ponto a = 1 , ou seja, queremos que:

lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = lim x → 1 ⁡ f ( x ) = f ( 1 )

Agora, veja que x → 1 + são valores maiores do que 1 e x → 1 - valores menores, ou seja:

Substituindo o valor de f :

lim x → 1 + ⁡ b x + 1 = lim x → 1 - ⁡ x 2 - a x + 3 x - 1 = lim x → 1 ⁡ f ( x ) = b + 1

Basta forçarmos que isso ocorra, bora lá

Passo 3

Olhando para primeira igualdade:

lim x → 1 + ⁡ b x + 1 = lim x → 1 - ⁡ x 2 - a x + 3 x - 1

Temos que b + 1 = lim x → 1 - ⁡ x 2 - a x + 3 x - 1

Agora precisamos notar algo.

Temos b um valor real, ou seja lim x → 1 - ⁡ x 2 - a x + 3 x - 1 existe. Porém, veja que o denominador vai para zero quando vemos x → 1 - , ou seja, ficaríamos com uma indeterminação.

Como queremos que esse limite exista, precisamos fazer esse denominador nulo sumir, para isso basta que o numerador tenha um termo ( x - 1 ) , pois assim iria cortar, bora forçar isso?

No matematiques, queremos que:

x 2 - a x + 3 = x - 1 x - t

Ou seja:

x 2 - a x + 3 = x 2 - x ( t + 1 ) + t

Por isso:

a = t + 1

t = 3

Ou seja a = 4

Dai, podemos voltar para o limite:

b + 1 = lim x → 1 - ⁡ x 2 - a x + 3 x - 1 = lim x → 1 - ⁡ ( x - 1 ) ( x - 4 ) x - 1 = - 3    

Ou seja, temos que:

b = - 4

Assim terminamos com mais um probleminha, bora para o próximo?

Resposta

a = - b = 4

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1