Seja f ( x ) uma função tal que para todo x ≠ 0 temos

cos ⁡ ( x ) - 1 ≤ f x ≤ x 4 + x 2

Calcule lim x → 0 ⁡ f ( x ) . Mostre que se f for contínua então f 0 = 0 .

Passo 1

Fala aí galerinha, como é que vocês estão?

Nessa questão temos uma função f que sempre obedece a relação:

cos ⁡ ( x ) - 1 ≤ f x ≤ x 4 + x 2

para todo x ≠ 0 . Então, podemos dizer que pra todo x ≠ 0 , nossa f está limitada entre as duas funções acima. Beleza?

O objetivo do enunciado é que calculemos:

lim x → 0 ⁡ f x

E, que mostremos que se f é contínua, temos:

f 0 = 0

Mas, vamos com calma! Apesar de não conhecermos a lei de formação de f (ou seja, qual a expressão de f em função de x ), nós sabemos que ela está sempre limitada entre:

g x = cos ⁡ ( x ) - 1 h x = x 4 + x 2

Isso nos permite usar um teorema bem legal, o teorema do confronto (ou do sanduíche, a depender da sua fome haha).

Basicamente, se uma função f está limitada entre g e h para certos valores de x , podemos afirmar que:

lim x → x 0 ⁡ g ( x ) ≤ lim x → x 0 ⁡ f ≤ lim x → x 0 ⁡ h ( x )

se x tende a x 0 por valores em que a expressão entre g ,   f e h é válida.

Sacaram? Então, vamos usar essa ideia aqui e depois expandimos usar a ideia da continuidade pra chegar em f 0 = 0 .

Vamo nessa!

Passo 2

Bom, como vimos no passo anterior, já que:

cos ⁡ ( x ) - 1 ≤ f x ≤ x 4 + x 2

pra todo x �� 0 .

E, x → 0 por valores diferentes de zero, pelo teorema do confronto, podemos afirmar que:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - 1 ≤ lim x → 0 ⁡ f x ≤ lim x → 0 ⁡ x 4 + x 2

Vamos então resolver os limites da direita e da esquerda separadamente. Começando pelo da esquerda:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - 1

O primeiro passo é sempre substituir o valor que x está tendendo dentro da função. Daí, ficamos com:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - 1 = cos ⁡ 0 - 1

1 - 1 = 0

Portanto:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - 1 = 0

Massa! Vamos agora verificar o da direita:

lim x → 0 ⁡ x 4 + x 2

Novamente substituindo x dentro da função pelo valor que ele tende no limite, vem que:

lim x → 0 ⁡ x 4 + x 2 = 0 4 + 0 2

= 0

Ou seja:

lim x → 0 ⁡ x 4 + x 2 = 0

Assim, temos que:

0 ≤ lim x → 0 ⁡ f x ≤ 0

Ué?! Mas, se lim x → 0 ⁡ f ( x ) é menor ou igual e maior ou igual que zero ao mesmo tempo, é porque:

lim x → 0 ⁡ f ( x ) = 0

Tan rannnn!! Encontramos o valor do limite pedido 😊

Passo 3

Agora vamos provar que se f é contínua, então:

f 0 = 0

Bom, pra uma função ser contínua em um ponto x p , precisa ser verdade que:

lim x → x p ⁡ f ( x ) = f ( x p )

Se f é contínua em todos os pontos, é porque ela também é contínua em x = 0 . Assim, vale que:

lim x → 0 ⁡ f ( x ) = f ( 0 )

Mas, vimos no item anterior que:

lim x → 0 ⁡ f ( x ) = 0

Assim:

f 0 = 0

Uhuuul! Provamos o que foi pedido.

Eaí, curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

lim x → 0 ⁡ f ( x ) = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1