2. Seja f : R → R uma função que, em todo - 1 ≤ x ≤ 1 , vale s e n ⁡ ( x ) 1 + x 2 ≤ f ( x ) ≤ 2 x - x 2 4 - x 2 .

Verifique se pode garantir que  f  é contínua em  x = 0 .

Passo 1

Para verificar se a função f ( x ) é contínua em x = 0 , precisamos analisar o comportamento da função em x = 0 e verificar se o limite dela quando x se aproxima de 0 coincide com o valor da função em x = 0 .

Dado que - 1 ≤ x ≤ 1 , podemos usar o Teorema do Limite de Funções Trigonométricas para analisar o limite de s i n ⁡ ( x ) 1 + x 2 quando x se aproxima de 0 :

l i m x → 0   s i n ⁡ ( x ) 1 + x 2 = s i n ⁡ ( 0 ) 1 + 0 2 = 0

Passo 2

E também, podemos analisar o limite de 2 x - x 2 4 - x 2 quando x se aproxima de 0 :

l i m x → 0   2 x - x 2 4 - x 2 = 2 ⋅ 0 - 0 2 4 - 0 2 = 0

Ambos os limites dão o valor 0 . No entanto, isso não é suficiente para garantir a continuidade da função em x = 0 . Precisamos também verificar se o valor da função em x = 0 coincide com o valor dos limites calculados.

Passo 3

Vamos calcular o valor da função em x = 0 usando as desigualdades dadas:

s i n ⁡ ( 0 ) 1 + 0 2 ≤ f ( 0 ) ≤ 2 ⋅ 0 - 0 2 4 - 0 2

0 ≤ f ( 0 ) ≤ 0

Portanto, f ( 0 ) está limitada entre 0 e 0 , o que significa que f ( 0 ) = 0 .

Resposta

Como o valor dos limites calculados coincide com o valor da função em x = 0 , podemos concluir que a função f ( x ) é contínua em x = 0 .

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1