Seja

responda justificando.

( a ) f ( x , y ) é contínua em ( 0,0 ) ?

( b ) f ( x , y ) possui derivadas parciais em ( 0,0 ) ? Caso afirmativo calcule-as.

( c ) f ( x , y ) é diferenciável em ( 0,0 ) ?

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

O enunciado nos deu a seguinte função

precisamos então avaliar as três alternativas, primeiro, a função é contínua em ( 0,0 ) ? Segundo, a função possui derivada parciais em ( 0,0 ) , e por último a função é diferenciável em ( 0,0 ) ? Analisar a continuidade está relacionado a verificar a seguinte igualdade

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) f ( x , y ) = f ( 0,0 )

para verificar a existência das derivadas parciais vamos calcular cada uma delas individualmente pela definição

f x ( 0,0 ) = l i m h → 0 f ( 0 + h , 0 ) - f ( 0,0 ) h e f y = l i m k → 0 f ( 0,0 + k ) - f ( 0,0 ) k

E, finalmente, a diferenciabilidade pode ser analisada através das condições

1 . A função deve ser contínua no ponto!

2 . As derivadas parciais devem existir no ponto!

3 . As derivadas parciais devem ser contínuas!

Vamos fazer tudo isso e verificar a diferenciabilidade de nossa função! Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite ( x , y ) → ( 0,0 ) da função, temos que

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) y 3 x 2 + y 2 = 0 0

portanto, é uma indeterminação, vamos reescrever um pouco então o nosso limite! Podemos separá-lo da seguinte forma

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) y l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) y 2 x 2 + y 2

Aqui, podemos garantir que

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) y = 0

Mas o outro limite ainda é indeterminado! Note no entanto, que podemos garantir que

0 ≤ y 2 ≤ x 2 + y 2

ou seja, temos que

0 ≤ y 2 x 2 + y 2 ≤ 1

e, portanto, o segundo limite é finito, e existe neste intervalo, desta forma, podemos garantir que

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) y l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) y 2 x 2 + y 2 = 0

Como a função em ( x , y ) = ( 0,0 ) é nula! A função é contínua nesse ponto! Bora para a próxima alternativa!

Passo 3

Usando a definição da função podemos então calcular as derivadas parciais em ( 0,0 ) como

f x ( 0,0 ) = l i m h → 0 0 3 h 2 + 0 2 - 0 h e f y = l i m k → 0 k 3 0 2 + k 2 - 0 k

simplificando as expressões temos diretamente que

f x ( 0,0 ) = 0 e f y = l i m k → 0 k k = 1

Essas são as derivadas parciais em ( 0,0 ) , portanto, ambas existem! Maravilha! As duas primeiras condições da diferenciabilidade são válidas, mas será que a última é? Vamos verificar!

Passo 4

Para fazer essa verificação vamos partir do seguinte limite

l i m ( h , k ) → ( 0,0 ) f ( h , k ) - f ( 0,0 ) - f x ( 0,0 ) h - f y ( 0,0 ) k | | ( h , k ) | | = l i m ( h , k ) → ( 0,0 ) f ( h , k ) - k h 2 + k 2

usando a definição da função temos que

l i m ( h , k ) → ( 0,0 ) f ( h , k ) - k h 2 + k 2 = l i m ( h , k ) → ( 0,0 ) k 3 h 2 + k 2 - k h 2 + k 2

para verificar se o limite existe, vamos calculá-lo através de diferentes caminhos, se tomarmos o caminho em que h = 0 , temos que o limite toma a forma

l i m ( h , k ) → ( 0,0 ) k 3 h 2 + k 2 - k h 2 + k 2 = l i m ( h = 0 , k ) → ( 0,0 ) k - k | k | = 0

mas, e se tentarmos outro caminho, como por exemplo, h = k , temos que

l i m ( h , k ) → ( 0,0 ) k 3 h 2 + k 2 - k h 2 + k 2 = l i m ( h = k , k ) → ( 0,0 ) k 2 - k 2 | k | = ± 1 2 2

o ± surge pois temos o módulo dividindo, sendo assim, a razão carrega um sinal que não sabemos com certeza, pois k pode ser negativo! Isso não importa, pois o limite é diferente se seguirmos por este caminho, desta forma nossas derivadas parciais não são contínuas! E, a nossa função não é diferenciável na origem! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

( a ) A função é contínua.

( b )   f x ( 0,0 ) = 0   e   f y ( 0,0 ) = 1

( c ) A função não é diferenciável.

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1