Seja

f x = x sin ⁡ ( π x ) ,     x ≤ 2 x 2 + 1 cos ⁡ π x ,     x > 2

Verifique se f é contínua e diferenciável em x = 2 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para verificar se a seguinte função

f x = x sin ⁡ ( π x ) ,     x ≤ 2 x 2 + 1 cos ⁡ π x ,     x > 2

é contínua e diferenciável em x = 2 .

Para verificarmos se ela é contínua, devemos os limites laterais da função devem ser iguais em x → 2 .

Se ela não for contínua, então ela não é derivável.

Por outro lado, se ela for contínua, devemos aplicar a derivada em cada uma das expressões e elas devem ser iguais no ponto x = 2 para ser considerada derivável.

Agora vamos lá!!!

😉

Passo 2

Aplicando o limite lateral para os valores à esquerda de x = 2 :

lim x → 2 - ⁡ x sin ⁡ ( π x ) = 2 sin ⁡ ( 2 π ) = 2 * 0 = 0

Aplicando o limite lateral para os valores à direita de x = 2 :

lim x → 2 + ⁡ x 2 + 1 cos ⁡ π x = 2 2 + 1 cos ⁡ 2 π = 5 * 1 = 5

Dessa forma, como os limites resultaram em valores diferentes, então podemos afirmar que a função não é contínua e, portanto, também não é derivável em x = 2 .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A função não é contínua e, portanto, também não é derivável em x = 2 .

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1