Seja f : R → R , tal que:

f x = x 2 - 2 ,     x ≤ 4 8 x ,     x > 4

Calcule, caso exista, lim x → 4 ⁡ f x - f 4 x - 4 . Essa função é contínua em x = 4 ?

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular o seguinte limite:

lim x → 4 ⁡ f x - f 4 x - 4

Sendo que f x é definida da seguinte forma:

f x = x 2 - 2 ,     x ≤ 4 8 x ,     x > 4

Para verificarmos esse limite (caso exista), devemos calcular os limites laterais para os valores de x que vêm a esquerda e a direita de 4 .

Caso os dois limites deem o mesmo valor, então o limite existe e a função é contínua nesse ponto.

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, vamos ver direitinho primeiro o limite lateral para x → 4 + (pela direita):

lim x → 4 + ⁡ f x - f 4 x - 4 = lim x → 4 + ⁡ 8 x - 32 x - 4 ∴

= lim x → 4 + ⁡ 8 x - 4 x - 4 ∴

= lim x → 4 + ⁡ 8 ∴

= 8

Perceba que quando x → 4 + , f x se aproxima de 8 .

Passo 3

Agora, para x → 4 - (pela esquerda):

lim x → 4 - ⁡ f x - f 4 x - 4 = lim x → 4 - ⁡ x 2 - 2 - 4 2 - 2 x - 4 ∴

= lim x → 4 - ⁡ x 2 - 16 x - 4 ∴

= lim x → 4 - ⁡ x + 4 x - 4 x - 4 ∴

= lim x → 4 - ⁡ x + 4 ∴

= 8

Perceba que quando x → 4 - , f x se aproxima de 8 .

Nesse sentido, como os limites laterais tiveram resultados iguais, podemos dizer que a função é contínua em x = 4 e que:

lim x → 4 ⁡ f x - f 4 x - 4 = 8

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

lim x → 4 ⁡ f x - f 4 x - 4 = 8

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Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1