5. Sejam a e b números reais tais que a função

f x = x 3 - a x 2 + b x x + 5 15 ,     x = - 5 ,     x ≠ - 5

É contínua. Calcule f 6 .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos uma função contínua e precisamos achar f ( 6 ) , mas repara que para fazermos isso temos que descobrir antes quem é a e b .

Para descobrir quem é a e b , vamos usar a definição de continuidade. Para quem não lembra, temos que uma função é contínua num ponto x = a quando:

lim x → c ⁡ f ( x ) = f c

Onde c neste caso será o ponto onde a função muda de cara, ou seja, c = - 5 .

Bora aplicar!

Passo 2

Aplicando a definição de limite ficamos com

lim x → - 5 ⁡ x 3 - a x 2 + b x x + 5 = f - 5

Ou seja,

lim x → - 5 ⁡ x 3 - a x 2 + b x x + 5 = 15

Mas repara que se substituirmos - 5 no calculo, caímos em uma indeterminação. E para esse limite existir, esse denominador tem que sumir. Então de um jeito ou de outro, essa função tem que ser fatorada.

Passo 3

Vamos reescrever o nosso numerador. Repara que podemos colocar o x em evidência

x 3 - a x 2 + b x = x x 2 - a x + b

Repara que temos x multiplicando por equação de segundo grau, que pode ser escrito como

x 2 - a x + b = x - 5 x - c

Onde, as raízes da equação são 5 e – c . Note, que admitimos que 5 é uma raiz, pois vimos no passo anterior que ela tem que ser fatoravel para resolvermos a indeterminação.

Reescrevendo

lim x → - 5 ⁡ x 3 - a x 2 + b x x + 5 = lim x → - 5 ⁡ x x - 5 x - c x + 5 = 15

Logo,

lim x → - 5 ⁡ x ( x - c ) = 15

Ou seja,

c = 2

Agora vamos descobrir quem é a e b .

Passo 4

Repara que agora que sabemos quem é c , temos a seguinte igualdade

x 3 - a x 2 + b x = x x 2 - a x + b = x x - 5 x - c

x 3 - a x 2 + b x = x x - 5 x - 2

Fazendo a distributiva, ficamos com

x 3 - a x 2 + b x = x 3 - 7 x 2 + 10 x

Opaaa, deste modo temos que

a = + 7

b = + 10

Agora vamos voltar a nossa função original!

Passo 5

Tinhamos que

x 3 - a x 2 + b x x + 5   p a r a   x ≠ - 5

E já sabemos quem é a e b , logo,

x 3 - 7 x 2 + 10 x x + 5   p a r a   x ≠ - 5

Como queremos calcular f 6 , podemos substituir,

f 6 =   6 3 - 7 6 2 + 10 6 6 + 5 = 24 11

Resposta

24 11

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1