Suponha que f : 0,1 → R é contínua e que 0 ≤ f x ≤ 1 , para todo x ∈ 0,1 . Prove que existe c ∈ 0,1 tal que f c = c .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá um intervalo fechado de 0,1 e nos pede para provar que existe um número c nesse intervalo tal que f c = c .

Para isso, devemos lembrar do Teorema do Valor Intermediário onde diz que:

“Em uma função contínua, em um intervalo a , b , que satisfaça f x 1 ≤ f x ≤ f ( x 2 ) , temos que deverá existir um valor c , entre a , b tal que f x 1 ≤ f c ≤ f ( x 2 ) .”

Agora vamos aplicar ao problema!! 😉

Passo 2

Bom... se tomarmos f x 1 = a e f x 2 = b , então a ≤ c ≤ b .

Logo, temos a ≤ f c ≤ b .

Portanto, existirá pelo menos um ponto f c = c , pois f é contínua!!

Dessa forma, para 0 ≤ x ≤ 1 , teremos c tal que f c = c .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

No texto

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Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1