1. Use a continuidade para calcular o limite seguintes:

a) lim x → 3 ⁡ e x 2 - x

b) lim x → 2 ⁡ a r c t g x 2 - 4 3 x 2 - 6 x

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, temos que calcular o limite de duas funções, a primeira é e x 2 - x para quando x tende a 3 e a segunda é a r c t g x 2 - 4 3 x 2 - 6 x para quando x tende a 2 .

Como podemos fazer isso? 👀

O limite de uma função é um conceito fundamental da matemática que descreve o comportamento da função à medida que a variável independente se aproxima de um determinado valor. O limite de uma função f x quando x se aproxima de um valor a é denotado por:

lim x → a ⁡ f x = L

Isso significa que à medida que x se aproxima de a , a função f x se aproxima de um valor L . Se o limite existe, o valor de L é único.

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Primeiro para a função e x 2 - x , temos que

lim x → 3 ⁡ e x 2 - x

Aplicando o método da substituição, que consiste apenas em substituir x pelo valor da tendência (no caso 3 ), vamos obter que

lim x → 3 ⁡ e x 2 - x = e 3 2 - 3

lim x → 3 ⁡ e x 2 - x = e 6

Portanto, o limite de e x 2 - x para x tendendo a 3 é e 6 .

Entendeu essa parte? 😊

Passo 3

Agora vamos para o limite de a r c t g x 2 - 4 3 x 2 - 6 x para x tendendo a 2

Novamente aplicando o método da substituição, vamos obter que

lim x → 2 ⁡ a r c t g x 2 - 4 3 x 2 - 6 x = a r c t g 2 2 - 4 3 2 2 - 6 2

lim x → 2 ⁡ a r c t g x 2 - 4 3 x 2 - 6 x =   a r c t g 0 0

Ops... encontramos um problema! Então temos que voltar e verificar o que podemos fazer para contorna-lo...

Podemos simplificar a fração x 2 - 4 3 x 2 - 6 x se chamarmos x 2 - 4 = x - 2 x + 2 e colocando 3 x em evidência no denominador 3 x 2 - 6 x = 3 x x - 2

Substituindo em a r c t g ...

a r c t g x 2 - 4 3 x 2 - 6 x → a r c t g x - 2 x + 2 3 x x - 2

Simplificando x - 2 , temos

a r c t g x + 2 3 x

Aplicando o limite pelo método da substituição...

lim x → 2 ⁡ a r c t g x + 2 3 x = a r c t g 2 + 2 3 2

lim x → 2 ⁡ a r c t g x + 2 3 x = a r c t g 2 3

Logo, o limite de a r c t g x 2 - 4 3 x 2 - 6 x para x tendendo a 2 é a r c t g 2 3

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

a) lim x → 3 ⁡ e x 2 - x = e 6

b) lim x → 2 ⁡ a r c t g x + 2 3 x = a r c t g 2 3

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1