Verifique a continuidade das funções abaixo no ponto 0,0 .

b) g x , y =   x 2 - y 2 x 2 + y 2 ,           s e   x , y ≠ ( 0,0 ) 0 ,                         s e   x , y = ( 0,0 )

Passo 1

Oi gente, tudo certinho?

Nos foi dada uma função de duas variáveis, g ( x , y ) , que é definida por partes como:

g x , y =   x 2 - y 2 x 2 + y 2 ,           s e   x , y ≠ ( 0,0 ) 0 ,                         s e   x , y = ( 0,0 )

Sobre essa função, o enunciado nos pede pra verificar se ela é contínua no ponto 0,0 .

Como é que a gente verifica continuidade mesmo?

Então, precisamos apenas analisar se:

lim x → x 0 y → y 0 ⁡ g ( x , y ) = g ( x 0 , y 0 )

Onde ( x 0 , y 0 ) é justamente o ponto que queremos ver se a função é contínua.

Show?

Vamo simbora, primeiro calculamos o limite e depois o valor da função no ponto ( 0,0 ) .

Passo 2

Bom, pra começar devemos calcular:

lim x → 0 y → 0 ⁡ g ( x , y )

Vimos que g é definida por partes:

g x , y =   x 2 - y 2 x 2 + y 2 ,           s e   x , y ≠ ( 0,0 ) 0 ,                         s e   x , y = ( 0,0 )

Então, pensa comigo:

Quando x , y está tendendo a ( 0,0 ) , esse valor ainda não foi atingido, estamos apenas próximos dele. Portanto, a lei que rege a função deve ser:

g x , y = x 2 - y 2 x 2 + y 2  

Logo, o nosso limite fica:

lim x → 0 y → 0 ⁡ x 2 - y 2 x 2 + y 2

Show, e como podemos calcular esse limite?

Uma dica legal é que, como o expoente máximo do numerador é igual ao expoente máximo do denominador (ambos valem 2 ), podemos testar o valor do limite através da reta genérica:

y = m x

Massa! Vamo fazer essa substituição no próximo passo!

Passo 3

Substituindo y = m x isso no nosso limite, vamos ter:

lim x → 0 y → 0 ⁡ x 2 - y 2 x 2 + y 2 = lim x → 0 y → 0 ⁡ x 2 - m 2 x 2 x 2 + m 2 x 2

=   lim x → 0 y → 0 ⁡ x 2 ( 1 - m 2 ) x 2 ( 1 + m 2 )

Cancelando o termo x 2 :

=   lim x → 0 y → 0 ⁡ ( 1 - m 2 ) ( 1 + m 2 )

Ih rapaz...O resultado do limite depende de m , ou seja, depende do caminho. Se testarmos, por exemplo, y = 2 x , teremos:

lim x → 0 y → 0 ⁡ x 2 - y 2 x 2 + y 2 = lim x → 0 y → 0 ⁡ 1 - m 2 1 + m 2

= 1 - 4 1 + 4 = - 3 5

Já se testarmos por y = x , teremos:

lim x → 0 y → 0 ⁡ x 2 - y 2 x 2 + y 2 = lim x → 0 y → 0 ⁡ 1 - m 2 1 + m 2

= 1 - 1 1 + 1 = 0

Deu dois valores diferentes!

Lembra o que isso significa?

Se o limite assume valores diferentes por caminhos diferentes, então ele na verdade não existe!

Portanto, esse limite:

lim x → 0 y → 0 ⁡ x 2 - y 2 x 2 + y 2

Não existe!

Sendo assim, é impossível que ocorra:

lim x → x 0 y → y 0 ⁡ g ( x , y ) = g ( x 0 , y 0 )

Já que o lado esquerdo sequer existe!

Portanto, concluímos que g ( x , y ) não é contínua em ( 0,0 ) .

Resposta

Não é contínua.

Exercícios de Livros Relacionados

Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2