22) Verifique se existe a ∈ R tal que f x =   1 + a x             ,     x ≤ 0   x 4 + 2 a       ,       x > 0 seja contínua em R .

Passo 1

Faaaaala galerinha, como vocês estão?

Esse exercício nos dá uma função f que é definida por partes, e quer que a gente verifique se existe a que torne ela contínua nos reais. Se a gente olhar pra lei de formação dela, temos dois polinômios, e um polinômio sempre é contínuo (bizu hein!). Ou seja, só precisamos nos preocupar com o ponto em que a lei de formação de f está mudando, ou seja, em x = 0 .

Passo 2

Bora lá então!

Pra analisar se a função é contínua em um ponto, sempre precisamos verificar se é verdade:

lim x → p ⁡ f ( x ) = f ( p )

Mas, como nesse caso f é definida por partes, para que o seu limite exista, também precisa ser verdade que:

lim x → p - ⁡ f x = lim x → p + ⁡ f x

Assim, no final das contas, o que a gente precisa mesmo verificar é se:

lim x → p - ⁡ f x = f p = lim x → p + ⁡ f x

Vamos pros cálculos!!

f 0 = 1 + a ⋅ 0 = 1

lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = lim x → 0 - ⁡ 1 + a x = 1

Ótimo, a primeira parte já funcionou para qualquer valor de a . Isso era esperado devido à forma que a função tá definida, pois em x = 0 ela tem a mesma lei de formação de x < 0 , a qual é um polinômio, que é sempre contínuo.

Bora calcular o limite lateral à direita!

lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = lim x → 0 + ⁡ x 4 + 2 a = 2 a

Opa, já nesse caso o resultado depende de a .

Passo 3

Beleza, como precisamos garantir que esses limites sejam todos iguais e também iguais a f ( p ) . Temos:

2 a = f 0 = 1 ⇒ a = 1 2

Excelente!! Isso significa que existe sim a que torna f contínua nos reais, e vale 1 / 2 .

Resposta

Sim, a = 1 / 2

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Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1