Exercícios Resolvidos de Função Potencial

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 4, Questão 31

31) Calcule C   F d r , onde

F = P ,   Q = cos x y 2 - x y 2 sin x y 2 ,   - 2 x 2 y sin x y 2

e C é dada por...

  1. C :         r t = 1 + cos t , sin t ,       0 t 2 π .
  2. C :         r t = t + t - 1 ln 1 + t 2 , - cos π 2 t ,       0 t 1 .

Passo 1

Então, resolver uma integral de linha no caso vetorial, existem, agora, três formas de resolvê-la:

1º - Forma direta.

2º - Teorema de Green.

3º - Com funções potenciais.

Pra você saber qual desses três caminhos seguir, a dica é começar observando o campo:

F = P ,   Q = cos x y 2 - x y 2 sin x y 2 ,   - 2 x 2 y sin x y 2

Repare que ele é bem complicado para resolver de uma forma direta, então calculemos a subtração

F 2 x - F 1 y

Nesse exercício ele fez F 1 = P e F 2 = Q , mas as contas são as mesmas

F 2 x = x - 2 x 2 y sin x y 2 = - 4 y x sin x y 2 - 2 x 2 y cos x y 2 y 2 =

- 4 y x sin x y 2 - 2 x 2 y 3 cos x y 2

Calculando a segunda derivada tomando cuidado novamente com a regra do produto e a da cadeia...

F 1 y = y cos x y 2 - x y 2 sin x y 2 =

= - sin x y 2 2 x y - 2 x y sin x y 2 - x y 2 cos x y 2 2 x y =

- 4 y x sin x y 2 - 2 x 2 y 3 cos x y 2

Vamos ter

F 2 x - F 1 y = 0

Epa!!! Esse cara deu 0 !

Esse resultado sugeriria o teorema de Green, no entanto, se olharmos para as curvas, mais especificamente a curva da letra b , vamos notar uma coisa, a curva é bem complexa e nem temos ideia de quem ela possa ser (inclusive se é fechada ou não).

Por isso, vamos escolher aqui o terceiro caminho: Com funções potenciais !

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Sabemos que esse campo F tem uma função f potencial, pois essa subtração famosa deu 0 e além disso o campo não tem problema de definição. Então, vamos agora buscar essa tal função f pela definição de função potencial:

F = f

Como o gradiente de f é:

f = f x ,   f y  

F = f x ,   f y

cos x y 2 - x y 2 sin x y 2 ,   - 2 x 2 y sin x y 2 = f x ,   f y

Onde tiramos duas igualdades:

cos x y 2 - x y 2 sin x y 2 = f x                                 1 º

- 2 x 2 y sin x y 2 = f y                                                                 2 º

Passo 3

Com a segunda igualdade, que parece ser menos trabalhosa, calculemos uma integral “revertendo” a derivada e voltando para a função f ...

f = - 2 x 2 y sin x y 2     d y + G x

Porém repare que apareceu uma função que depende somente de x ali, pois caso derivemos novamente essa função em relação à y , ela desaparece por ser considerado uma “constante” perante y , logo... Na integral ela reaparece, sacou?

Calculando essa integral com relação à y , portanto, tomando x como uma constante, faça...

x y 2 = u           d u = 2 x y   d y

f = - x sin x y 2     2 x y   d y + G x

f = x - sin u   d u + G x

f = x cos u + G x

f = x cos x y 2 + k

Passo 4

Basicamente essa é a função potencial, porém, como você pode ver, ainda falta uma coisa a descobrir, a função G x . Façamos isso utilizando a primeira igualdade...

cos x y 2 - x y 2 sin x y 2 = f x

Derivando a função que determinamos em relação à x então...

f = x cos x y 2 + G x                     f x = x x cos x y 2 + G x x

Esse segundo termo de derivada é uma derivada simples, pois G só depende de x ...

f x = x x cos x y 2 + G ' x  

Derivando...

f x = cos x y 2 - x sin x y 2 y 2 + G ' x  

f x = cos x y 2 - x y 2 sin x y 2 + G ' x  

E agora comparando com a igualdade número 1 ... cos x y 2 - x y 2 sin x y 2 = f x    

cos x y 2 - x y 2 sin x y 2 = cos x y 2 - x y 2 sin x y 2 + G ' x

G ' x = 0

Logo... A única forma dessa derivada zerar é se a função for uma constante...

G x = k

Então a função potencial finalmente é

f = x cos x y 2 + G x

f = x cos x y 2 + k

Passo 5

Para matar a letra a e a letra b , antes apenas lembre que com uma função potencial f em mãos, calculamos uma integral de linha muito fácil tendo apenas o ponto inicial A e o ponto final B , pois...

A B F d r = f B - f A

Então...

Passo 6

Letra a) Como a curva é C :         r t = 1 + cos t , sin t ,       0 t 2 π , o ponto inicial acontece quando t = 0 ...

t = 0         A =   r 0 = 1 + cos 0 , sin 0 = 2 ,   0

E o ponto B ...

t = 2 π         B =   r 2 π = 1 + cos 2 π , sin 2 π = 2 ,   0

C   F d r = f B - f A

Como...

f = x cos x y 2 + k         f B = 2 cos 0 + k =

2 + k

e f A é...

f = x cos x y 2 + k         f A = 2 cos 0 + k =

2 + k

Então...

C   F d r = 2 + k - 2 + k =

0

Passo 7

Letra b) Repetindo o processo mas agora para a curva da letra b ...

C :         r t = t + t - 1 ln 1 + t 2 , - cos π 2 t ,       0 t 1

A = r 0 = 0 + 0 - 1 ln 1 , - cos 0 =

0 ,   - 1

B = r 1 = 1 + 1 - 1 ln 1 + 1 2 , - cos π 2 =

1 ,   0

Então...

f = x cos x y 2 + k         f B = cos 0 + k =

1 + k

e f A é...

f = x cos x y 2 + k         f A = k

C   F d r = f B - f A  

C   F d r = 1 + k - k =

1

Resposta

Letra a) 0

Letra b) 1

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