Exercícios Resolvidos de Função Potencial

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G2 - 2016.1, Questão 2

Considere os seguintes campos:

F x ,   y = 2 x y e y x 2 + cos y ,   x 2 e y x 2 - x sin y + 1 ,     x ,   y R 2 ,

G x ,   y ,   z =   x e x y z ,   z e x y z ,   y e x y z ,     x ,   y ,   z R 3 .

  1. Justifique, sem calcular potenciais, se os campos F e G são conservativos ou não.
  2. Caso F seja conservativo, calcule seus potenciais.
  3. Seja

H x ,   y = 2 x y e y x 2 + π + cos y ,   x 2 e y x 2 - x sin y + 1 ,                     x ,   y R 2

um campo de forças plano. Calcule o trabalho realizado por uma partícula que se desloca sobre o arco (positivamente orientado) de elipse x 2 9 + y 2 = 1 , saindo de 3 ,   0 e chegando em 0 ,   1 .

Sugestão: Relacione os campos H e F e use o item b .

Passo 1

Letra a) Vamos começar com o campo F , ta ok?

Bem, para verificar isso a gente pode usar aquele teorema que fala do rotacional, se lembra?:)

Se o rotacional for zero e o campo funcionar onde a gente quer (não ter singularidades), então a gente pode dizer com certeza que esse campo é nulo ;)

O campo não tem problema em nenhum ponto do R 2 (divisão por zero, ou algo do tipo...), então basta a gente averiguar a condição do rotacional, bora?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O rotacional de F aqui no plano é

Q x - P y

Onde no nosso caso, F x ,   y = 2 x y e y x 2 + cos y P ,   x 2 e y x 2 - x sin y + 1 Q

Começando com a primeira derivada Q x , não se esquecendo de aplicar a regra da soma...

Q x = x 2 e y x 2 - x sin y + 1 x =

x 2 e y x 2 x + - x sin y x + 1 x

Como a derivada em relação a x considera y constante (Ah! Derivada de constante é 0)...

Q x = x 2 e y x 2 x + sin y - x x        

Aplicando a regra do produto

Q x = x 2 x e y x 2 + x 2 e y x 2 x - sin y        

Q x = 2 x e y x 2 + x 2 e y x 2 x - sin y      

Agora derivar usando a regra da cadeia...

Q x = 2 x e y x 2 + x 2 e y x 2 2 x y - sin y =

2 x e y x 2 + 2 x 3 y e y x 2 - sin y

Passo 3

Fazendo o mesmo, mas agora com P y

P y = 2 x y e y x 2 + cos y y  

P y = 2 x y e y x 2 y + cos y y      

P y = 2 x y e y x 2 y - sin y  

Regra do produto...

P y = 2 x y y e y x 2 + y e y x 2 y - sin y    

P y = 2 x e y x 2 + y e y x 2 x 2 - sin y    

P y = 2 x e y x 2 + x 2 y e y x 2 - sin y

P y = 2 x e y x 2 + 2 x 3 y e y x 2 - sin y

Bem, retornando agora ao rotacional

Q x - P y = 2 x e y x 2 + 2 x 3 y e y x 2 - sin y - 2 x e y x 2 + 2 x 3 y e y x 2 - sin y  

Cortando esses caras...

Q x - P y = 0

Logo... Sim, o campo F é conservativo ;D

Passo 4

Pow, para o campo G , vamos fazer a mesma verificação, com um detalhe: estamos agora no espaço e no espaço, o rotacional é um pouquinho diferente (rsrs :’))

r o t   G = G 3 y - G 2 z ,   G 1 z - G 3 x ,   G 2 x - G 1 y

Onde o campo vetorial nesse caso é

G x ,   y ,   z = x e x y z G 1 ,   z e x y z G 2 ,   y e x y z G 3

Pow, parece que vai dar um certo trabalhinho para calcular as derivadas parciais, mas o principio é o mesmo, ou seja, temos que verificar se cada entrada daquela ali vai zerar

r o t   G = G 3 y - G 2 z ,   G 1 z - G 3 x ,   G 2 x - G 1 y = 0 ,   0 ,   0

Se sim, é conservativo. Se uma delas não zerar, não é. Então vamos calcular essas derivadas parciais aí

Passo 5

Vamos verificar primeiro a primeira entrada do rotacional se é z e r o , ou seja

G 3 y - G 2 z = 0   ?

pra verificar, vamos calcular primeiro G 3 y

G 3 y = y e x y z y

G 3 y = y y e x y z + y e x y z y

G 3 y = e x y z + y e x y z x z =

e x y z + x y z e x y z

Agora vamos calcular o outro

G 2 z = z e x y z z

G 2 z = z e x y z z + z e x y z z

G 2 z = z z e x y z + z e x y z z

G 2 z = e x y z + z e x y z x y =

e x y z + x y z e x y z

Então sim, essa entra é z e r o , porque

G 3 y - G 2 z = e x y z + x y z e x y z - e x y z + x y z e x y z = 0

Passo 6

Ok! Até agora não podemos afirmar nada.

Vamos fazer o mesmo para a segunda entrada, ou seja:

G 1 z - G 3 x

Bora na primeira derivada, então

G 1 z = x e x y z z

G 1 z = x e x y z x y

G 1 z = y x 2 e x y z

Calculando o outro...

G 3 x = y e x y z x

G 3 x = y e x y z y z

G 3 x = z y 2 e x y z

Calculando então a diferença desses dois

G 1 z - G 3 x = y x 2 e x y z - z y 2 e x y z

EPA! a gente não consegue cortar esses cara, o que significa que existe pontos que essa diferença não é zero.

Então podemos parar por aqui e dizer que o campo vetorial G não é conservativo !

Passo 7

Letra b) pois então, para calcular as funções potenciais, vamos usar uma preciosa informação, a teoria: se ω é uma função potencial de F então F = ω . WHAT???

Calma! Esse ω aí é a função potencial, o que a gente vai fazer igualar o seu gradiente ao campo F que queremos!

ω x , ω y = 2 x y e y x 2 + cos y ,   x 2 e y x 2 - x sin y + 1

portanto

I         ω x = 2 x y e y x 2 + cos y

I I           ω y = x 2 e y x 2 - x sin y + 1

Pegando a primeira

ω x = 2 x y e y x 2 + cos y

e integrando com relação a x

ω = 2 x y e y x 2 + cos y d x + g ( y )

Note que apareceu uma função que depende de y apenas, pois se derivando em relação a x ela desaparece, integrando em relação a x ela aparece. Sacou? :)

ω = 2 x y e y x 2 d x + cos y d x + g ( y )  

Não se esquecendo que y é constante na integral em relação a x , teremos que a segunda integral

ω = 2 x y e y x 2 d x + x cos y + g y  

Já na primeira integral, podemos pensar em uma substituição simples

y x 2 = a         d e r i v a n d o   c o m   r e l a ç ã o a o   x ,   e n c o n t r a m o s   o   d a               d a = 2 x y d x

substituindo na integral, então teremos

ω = e y x 2 2 x y d x + x cos y + g y                       ω = e a d a + x cos y + g y

essa integral é direta !

ω = e a + x cos y + g y  

ω = e y x 2 + x cos y + g y

Passo 8

EPA! Já ganhamos a função potencial, porém temos ainda que ver quem essa função de y é. Para fazer isso, vamos derivar com relação à y agora e igualar com a função ( I I ) acima.

Derivando então essa   ω com relação à y ...

  ω y = e y x 2 + x cos y + g y y      

ω y = e y x 2 y + x cos y y + g y y

A função g só depende de y , então g y y = g ' ( y )

ω y = e y x 2 x 2 - x sin y + g ' x

Igualando à I I

x 2 e y x 2 - x sin y + g ' x = x 2 e y x 2 - x sin y + 1

Cortando esses caras e simplificando, teremos

g ' y = 1

Integrando agora com relação a y ...

g y = 1 d y

g y = x + c

Note que c é a constante de integração

Passo 9

Voltando para o problema inicial... As funções potenciais de F é

ω = e y x 2 + x cos y + g y

ω = e y x 2 + x cos y + x + c

Prontinho !

Passo 10

Letra c) Pow, perceba aqui que esse campo H é tipo muuuuuito parecido com campo F !

A única diferença entre os dois é um π na primeira entrada, e cara o π é uma constante, certo? E olha que legal, a presença de uma constante não vai fazer o campo deixar de ser conservativo! :D

Fine, mas vamos precisar de calcular tudo de novo?

Não! A gente vai usar o item b , me acompanha só!

Passo 11

Vamos então tentar encontrar uma função potencial para a função H (Vou chamar de ω h ). Mas antes vamos só lembrar de como foi que encontramos a função potencial para a função F , lá no passo 7:

ω = 2 x y e y x 2 + cos y d x + g ( y )

Agora diferença é que vamos adicionar um π ai no meio, dessa forma

ω h = 2 x y e y x 2 + cos y + π d x + g ( y )

E cara, a gente pode desmembrar isso aí, dessa forma aqui

ω h = 2 x y e y x 2 + cos y d x + π d x + g ( y )

EPA! Olha que legal, podemos notar que dessa expressão que

ω h = ω + π d x

Percebeu? :D Como a ômega a gente já tem do item b

ω h = e y x 2 + x cos y + x + c + π d x

como π é uma constante, vaza da integral

ω h = e y x 2 + x cos y + x + c + π d x  

ω h = e y x 2 + x cos y + x + c + π x

EBA! Função potencial encontrada! AH! Essa constante aí não interessa muito, tá ok?

ω h = e y x 2 + x cos y + x + π x  

ω h = e y x 2 + x cos y + x ( 1 + π )

Passo 12

Basta aqui lembrar que trabalho para a gente, agora é uma integral de linha...

C   H d r

Onde C é a elipse que não nos interessa muito, por que... pela teoria, se ω h é uma função potencial para H , então

C   H d r = ω h B - ω h ( A )

Onde B é o ponto final e A é o de inicio. No nosso caso B = 0 ,   1 e A = 3 ,   0

C   H d r �� = ω 0 ,   1 - ω ( 3 ,   0 )

Avaliando essas duas coisas

ω 0 ,   1 = e 1 0 2 + 0 cos 1 + 0 ( 1 + π )    

ω 0 ,   1 = 1    

e

ω 3 ,   0 = e 0 3 2 + 3 cos 0 + 3 ( 1 + π )  

ω 3 ,   0 = 1 + 3 + 3 1 + π

ω 3 ,   0 = 1 + 3 + 3 + 3 π =

7 + 3 π

Logo

C   H d r = ω 0 ,   1 - ω ( 3 ,   0 )

C   H d r = 1 - 7 + 3 π

C   H d r = - 6 - 3 π

Resposta

Letra a)

F             C a m p o   c o n s e v a t i v o

G         C a m p o   n ã o - c o n s e r v a t i v o

Letra b)

ω = e y x 2 + x cos y + x + c

Letra c) - 6 - 3 π

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