Exercícios Resolvidos de Função Potencial

George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009

Encontre uma função potencial f para o campo F = y sen z i + x sen z j + x y cos z k

Passo 1

Vamos lá galera, a definição de função potencial é essa aqui

F = f x , y , z

Sendo que é esse operador aqui

= x , y , z

Então o que o enunciado quer é que achemos a função f de forma que

F = f x , f y , f z

Em outras palavras

f x = y sen z

f y = x sen z

f z = x y cos z

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar pela primeira equação

f x = y sen z

f = y sen z d x

Como ( y sen z ) é constante em relação a x , essa integral fica

f = x y sen z + A y , z

Vamos usar as outras equações pra descobrir quem é esse termo A y , z

Passo 3

A segunda equação diz que

f y = x sen z

Mas também sabemos que

f = x y sen z + A y , z

Derivando isso em relação a y temos

f y = x sen z + A y

Agora é só igual isso que achamos com o valor original

x sen z = x sen z + A y

A y = 0

Portanto A y , z é constante em relação a y mas pode não ser em relação a z , precisamos descobrir isso. Podemos dizer que

A y , z = B ( z )

f = x y sen z + B ( z )

Passo 4

Vamos para a nossa terceira equação pra descobrir esse valor de B z , ela diz que

f z = x y cos z

No passo anterior descobrimos que f pode ser escrito por

f = x y sen z + B z

Só precisamos derivar esse cara em relação a z e igualar a equação anterior

f z = x y cos z + B z

x y cos z + B z = x y cos z

B z = 0

Então descobrimos que B z também é constante em relação a z , logo esse termo é uma constante numérica K !

B z = K

Não esqueça desse termo! A função potencial sempre vai ter uma constante K somada a ela!

Passo 5

Encontramos a função potencial! Ela é escrita por

f = x y sen z + K

Resposta

f = x y sen z + K

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