Exercícios Resolvidos de Função Potencial

UFPE, Cálculo 3, 1°EE - 2016.2, Questão 3

Interpretando a curva α , definida como α t = t - 2 , t 2 - 12 t + 22 onde t 3,9 , como sendo a função horária da posição de uma partícula P , de massa m = 5 , chame de F R a força resultante sobre P .

(a) Calcule α F R . d r pela definição. Qual é a variação de energia cinética experimentada por P ?

(b) Mostre que F R : α 3,9 R 2 é um campo conservativo e calcule α F R . d r pelo teorema fundamental do cálculo para integrais de linha.

(c) Existe uma função escalar g : α 3,9 R tal que α g d s = α F R . d r ?

Passo 1

a )

Cara, essa questão pede pra gente calcular a integral de uma força que não sabemos nada sobre! Como faz isso?

Calma, calma! Na verdade, ele falou indiretamente sobre isso, se liga só:

Sabemos pela Física que a força resultante sobre um objeto é dada por

F R = m . a

Beleza, o enunciado deu m , mas não falou nada de aceleração, como achamos isso aqui?

Também pela Física, sabemos que

a = v t = 2 S t 2

Onde v é a velocidade e S é a posição em função do tempo! E isso o enunciado disse pra gente que pode ser dado por α ! Então

a = 2 α t 2

Derivando α temos

α = t - 2 , t 2 - 12 t + 22

α ' t = 1,2 t - 12

Derivando pela segunda vez

α ' ' t = 0,2

Então a nossa aceleração é dada por

a = 0,2

Com isso a força que precisamos integrar, F R , é

F R = m . a = 5 0,2 = 0,10

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, encontramos a força, agora é só colocar na integral e calcular né?

Só pra relembrar, o valor de d r é igual a derivada da parametrização da curva, ou seja, d r = α ' t .

Sendo assim

α F . d r = 3 9 0,10 . 1,2 t - 12 d t

= 3 9 20 t - 120 d t

Integrando isso aí

20 t 2 2 - 120 t 3 9

= 810 - 1080 - 90 - 360

= - 270 + 270 = 0

α F R . d r = 0

Passo 3

A segunda pergunta da letra (a) é o valor da variação de energia cinética experimentada por P . Também na física aprendemos que essa variação é igual ao trabalho da força resultante.

“Trabalho da força resultante”... Isso é exatamente o que calculamos! Lembra que o trabalho é calculado pela integral sobre o deslocamento de P . Portanto

T r a b a l h o = α F R . d r = 0

Logo a variação de energia cinética também é zero!

Passo 4

b )

Para mostrar que F R é um campo conservativo, precisamos encontrar uma função potencial pra esse campo. Vamos começar vendo se o rotacional é zero, pra não fazer conta desnecessária

Como estamos pensando em R 2 só, e não em três dimensões, só precisamos calcular

F 2 x - F 1 y = 0

Onde F = 0,10

F 2 x = 0

F 1 y = 0

Portanto o rotacional realmente é nulo, vamos agora tentar achar uma função potencial f que satisfaça a relação

f = F

Ou seja

f x = F 1

f y = F 2

Passo 5

Vamos começar com essa primeira derivada

f x = F 1 = 0

f = 0 d x

f = K y

Indo pra segunda agora

f y = F 2 = 10

f = 10 d y

f = 10 y + K x

Comparando os dois resultados de f concluímos que

f = 10 y + K

E o campo é conservativo!

Passo 6

Pelo teorema fundamental do cálculo para integrais de linha sabemos que, para um dado campo F conservativo, podemos fazer

A B F . d r = f B - f A

Só precisamos saber quem são os pontos final e inicial, descobrimos isso por α , olha só:

Sabemos que

α t = t - 2 , t 2 - 12 t + 22

Onde t 3,9

Quando t = 3 , temos o valor de A

A = 3 - 2,3 2 - 12.3 + 22

A = 1 , - 5

Quando t = 9 , temos o valor de B

B = 9 - 2,9 2 - 12.9 + 22

B = 7 , - 5

Substituindo esses pontos no teorema

f = 10 y + K

A B F . d r = f B - f A

= 10 - 5 + K - 10 - 5 + K

= - 50 + K + 50 - K

A B F . d r = 0

Essa questão ta zoando a gente, né? Dá tudo zero!

Passo 7

c )

A questão aqui pede pra dizer se existe uma função g que seja igual à integral de linha do caso vetorial de F r , assim

α g d s = α F R d r

A primeira integral está sendo aplicada sobre uma função, enquanto na segunda a gente tem um campo F R , são coisas bem diferentes, beleza?

A resposta depende de um conceito que diz que o campo F R que resulta na igualdade dessas integrais sempre existe quando a curva é lisa e simples. Em outras palavras, quando a curva é contínua!

Pra provar isso é só mostrar que a derivada da parametrização existe em todos os pontos do domínio!

No caso α ' t = 1,2 t - 12 , então pra qualquer t 3,9 existe a derivada. Portanto com certeza existe um campo F que satisfaça o pedido do enunciado. =D

Resposta

a ) 0

b ) 0

c ) Sim

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas