Exercícios Resolvidos de Função Potencial

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G2 - 2018.1, Questão 2

Questão 2: Sejam os campos plano e espacial

F x ,   y = 2 x y 3 + 1 x + y + 1 ,   3 x 2 y 2 + 1 x + y ,       x + y > 0 ,

G x ,   y ,   z = x y ,   z ,   y ,               x ,   y ,   z R 3 .

  1. Justifique se F e G são conservativos ou não sem calcular potenciais.
  2. Caso F ou G sejam conservativos, determine seus respectivos potenciais.
  3. Seja o campo plano

H x ,   y = 2 x y 3 + 1 x + y + 1 + y 2 π ,   3 x 2 y 2 + 1 x + y - x 2 π ,           x + y > 0 .

Calcule

C   H d r

Onde C é o arco de circunferência centrado na origem, indo de 2 ,   0 para 0 ,   2 .

Passo 1

a )

Ouvi conservativo??? Então a primeiríssima coisa que você tem que ver é se o campo funciona em todos os pontos do espaço. Em outras palavras, é verificar se ele é simplesmente conexo!

Pow! Olha para o nosso campo

F x ,   y = 2 x y 3 + 1 x + y + 1 ,   3 x 2 y 2 + 1 x + y ,       x + y > 0 ,

Bem, a única forma desse campo não existir, é se o denominador daquela fração ali for igual a 0 , porém, o próprio problema já nos disse que estamos trabalhando para pontos com:

x + y > 0

Então, em todo domínio dessa função, o campo funciona, o que o torna sim simplesmente conexo!

Mas a análise não acabou por aqui, neh? Bora para o último quesito...

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para o campo ser conservativo também, outra coisa que precisa acontecer é essa parada aqui ser verdadeira:

F 2 x - F 1 y = 0

OBS: Esse termo do primeiro membro é aquela famosa subtração que utilizamos no Teorema de Green, se lembra? F 1 e F 2 são as componentes do campo...

F x ,   y = F 1 ,   F 2 = 2 x y 3 + 1 x + y + 1 ,   3 x 2 y 2 + 1 x + y

Derivando...

F 2 x = x 3 x 2 y 2 + 1 x + y = 6 x y 2 - 1 x + y 2

F 1 y = y 2 x y 3 + 1 x + y + 1 = 6 x y 2 - 1 x + y 2

Substituindo...

F 2 x - F 1 y = 0                                       F 2 x - F 1 y =

6 x y 2 - 1 x + y 2 - 6 x y 2 - 1 x + y 2 = 0

EPA! Funcionou! Então o campo F é conservativo! !!!

Passo 3

Vamos fazer as mesmas análises para o campo G x ,   y ,   z :

G x ,   y ,   z = x y ,   z ,   y ,               x ,   y ,   z R 3 .

Veja que G x ,   y ,   z é uma função que só é composta por expressões polinomiais, então ela não tem problema em nenhum ponto, o que a torna simplesmente conexa!

Mas para ser conservativo, outra coisa que tem que acontecer é o rotacional ser nulo (digo rotacional, porque diferentemente do campo anterior, essa função G é espacial), então isso aqui deve acontecer...

r o t G = 0

Mas será que isso é verdade? Vejamos:

r o t G = G 3 y - G 2 z ,   G 1 z - G 3 x ,   G 2 x - G 1 y

Como

G x ,   y ,   z = G 1 ,   G 2 ,   G 3 = x y ,   z ,   y

r o t G = 1 - 1 ,   0 - 0 ,   0 - x = 0 ,   0 ,   - x

Veja que esse rotacional depende de x . Como ele não é um rotacional nulo, podemos concluir que o campo G x ,   y ,   z não é rotacional!

Passo 4

b )

Como apenas o campo F é conservativo, vamos ter que encontrar um potencial apenas pra ele (que bom ).

Tá! F é conservativo, mas o que isso significa exatamente?

Significa que o campo possui uma função potencial f x ,   y   que, por definição, atende a equação:

F = f

Esse segundo termo, se você não se recorda, é a gradiente da função ômega definido como sendo o vetor de derivadas parciais...

f = f x , f y

Pela igualdade de função vetorial então temos que...

F = f                           2 x y 3 + 1 x + y + 1 ,   3 x 2 y 2 + 1 x + y = f x , f y

Por igualdade de vetor...

1 º )                   f x = 2 x y 3 + 1 x + y + 1

      2 º )                   f y = 3 x 2 y 2 + 1 x + y                  

O que vamos fazer aqui agora, basicamente é ressorver essas equações diferenciais e tirar o valor de f (a função potencial )

Passo 5

Da primeira equação diferencial...

1 º )                   f x = 2 x y 3 + 1 x + y + 1

Podemos, grosso modo, “passar” o d x pra lado de lá e integrar dos dois lados...

  f = 2 x y 3 + 1 x + y + 1 x

Integrando...

    d f =     2 x y 3 + 1 x + y + 1 d x

f =     2 x y 3 + 1 x + y + 1 d x

Integrando com relação a x agora (tome y sendo uma constante)...

f = 2 y 3 x 2 2 + ln x + y + x + C y    

f = y 3 x 2 + ln x + y + x + C y

Veja que aparece um C ( y ) ! Você pode pensar nela como uma constante de integração, mas como integramos em x e a função tem outra variável, a “constante” passa a depender dessa outra variável, saca? Se você ainda não estiver convencido, derive esse ômega com relação à x ! Você vai reparar que a C y some por depender somente de y !

Passo 6

Beleza, mas agora vamos resolver a segunda equação de modo análogo...

      2 º )                   f y = 3 x 2 y 2 + 1 x + y        

f = 3 x 2 y 2 + 1 x + y y    

    d f =     3 x 2 y 2 + 1 x + y d y  

(Agora, para integrar em y tome x como uma constante):

f = 3 x 2 y 3 3 + ln x + y + C x  

f = x 2 y 3 + ln x + y + C x

Agora apareceu C x pelo mesmo motivo de C y ali em cima.

Passo 7

Veja que nos dois últimos passos, encontramos duas funções diferentes...

1 º )                     f = y 3 x 2 + ln x + y + x + C y    

2 º )                     f = x 2 y 3 + ln x + y + C x

A resposta verdadeira vai ser uma combinação das duas da seguinte forma:

  1. Toda termo igual, aparece uma só vez...
  2. f = y 3 x 2 + ln x + y

  3. Todo termo diferente aparece também...
  4. f = y 3 x 2 + ln x + y + x

  5. As funções C x e C y não coloca, mas no lugar dela, coloca uma constante k ...

f = y 3 x 2 + ln x + y + x + k

Basicamente a gente já acabou, pois encontrou todas as funções potenciais de f . Aí você poderia perguntar: “Todas?! Mas eu só vejo uma ”. Bem, repare que k é uma constante e pode valer qualquer número real. Pra cada um eu tenho uma resposta diferente, saca?

Então nesse caso, as funções potenciais para F é essa família de soluções mesmo...

f = y 3 x 2 + ln x + y + x + k

Passo 8

c )

Ok, aqui nesse item, o nosso foco é calcular essa integral de linha aqui:

C   H d r

Onde H é um campo muito parecido o nosso campo F ...

H x ,   y = 2 x y 3 + 1 x + y + 1 + y 2 π ,   3 x 2 y 2 + 1 x + y - x 2 π ,           x + y > 0 .

Bem, é bem provável que H não seja conservativo como o campo F é (o problema seria muito fácil se fosse). Então, mesmo assim, para facilitar as contas, vamos separar H em dois campos:

H x ,   y = 2 x y 3 + 1 x + y + 1 + y 2 π ,   3 x 2 y 2 + 1 x + y - x 2 π =

2 x y 3 + 1 x + y + 1 ,   3 x 2 y 2 + 1 x + y + y 2 π ,   - x 2 π =

F x ,   y + N x ,   y

Para termos certeza de que H não é conservativo, basta conferir N ...

N 2 x - N 1 y = - 1 2 π - 1 2 π = - 1 π 0

Então de fato se N não é conservativo, H não é, saca?

Mas não se preocupe que vamos dar um jeito, no próximo passo, para calcularmos essa integral de linha!

Passo 9

Bem, como dividimos em dois campos, teremos:

C   H d r = C   F d r + C   N d r

Bem, eu fiz isso, porque a integral de linha da F , como ela tem uma função potencial, é muito mais fácil de calcular o seu valor, veja:

Pela teoria de função potencial, podemos usa-la para calcular um valor de uma integral de linha:

C   F d r = f B - f A

Onde f é a função potencial ( f = y 3 x 2 + ln x + y + x + k ); A é o ponto de início da curva e B é ponto final. Como pelo enunciado

“... indo de 2 ,   0 para 0 ,   2 .”

Temos que A = 2 ,   0 e B = 0,2 ...

f B = f 0 ,   2 = 2 3 0 2 + ln 0 + 2 + 0 + k = ln 2 + k

f A = f 2 ,   0 = 0 3 2 2 + ln 2 + 0 + 2 + k = ln 2 + 2 + k

Então...

C   F d r = f B - f A = ln 2 + k - ln 2 + 2 + k = - 2

Viu só? Então por isso só precisamos encontrar o valor de integral de linha de N . Vamos nessa?

Passo 10

Estamos integrando...

C   N d r

Onde

N = y 2 π ,   - x 2 π

E C é o arco de circunferência de raio 2 e centrada na origem, já que a curva tem que sar de 2 ,   0 e chegar em 0 ,   2 :

Para calcularmos essa integral de linha, a gente pode fazer de uma direta, onde primeiro devemos parametrizar a curva C :

x = 2 cos θ

y = 2 sin θ

Onde pelo desenho, vemos que θ tem que ir de 0 ° a 90 ° :

0 θ π 2

Então a parametrização final fica...

r ' θ = 2 cos θ ,   2 sin θ ,       0 θ π 2

Passo 11

A segunda coisa é calcularmos o termo d r ...

d r = r ' θ d θ = - 2 sin θ , 2 cos θ d θ

Passo 12

A terceira e última coisa antes de retornar para integral de linha é substituir os termos x e   y do campo pelos termos da parametrização:

N = y 2 π ,   - x 2 π               N = 2 sin θ 2 π ,   - 2 cos θ 2 π =

sin θ π ,   - cos θ π

Substituindo então na integral...

C   N d r = 0 π 2 sin θ π ,   - cos θ π - 2 sin θ , 2 cos θ d θ =

0 π 2 - 2 sin 2 θ π   - 2 cos 2 θ π   d θ = 0 π 2 - 2 π sin 2 θ + cos 2 θ     d θ =

- 2 π π 2 - 0 = - 1

Passo 13

Calma, Jovem! Falta pouco. O que viemos procurar nesse item é a integral de linha de H , e como vimos...

C   H d r = C   F d r + C   N d r    

C   H d r = - 2 - 1 = - 3

Resposta

a )     A p e n a s   F   é   c o n s e r v a t i v o .          

b )     f = y 3 x 2 + ln x + y + x + k

c ) - 3                                                                                                    

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas