Considere as seguintes normas,

x M = max ⁡ x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n ,       x S = x 1 + x 2 + … + | x n | para x ∈ R n

Verifique com um exemplo em R 3 que a identidade do paralelogramo não é válida para as normas acima cidadãs.

Passo 1

Fala aí galerinha, tudo beleza?

Nessa questão recebemos duas definições diferentes da norma de um vetor. Imagina que temos um vetor no R n dado por:

x = x 1 , x 2 ,   x 3 ,   … ,   x n

Então, para esse vetor temos duas definições diferentes de norma. A primeira delas:

x M = max �� x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n

Então, se pegarmos o vetor:

x = 2,1 , 3

Teremos:

2,1 , 3 M = max ⁡ 2 ,   1 ,   3

= 3

E, a segunda definição diz que:

x S = x 1 + x 2 + … + | x n |

Então, para o mesmo vetor exemplo do caso anterior:

2,1 , 3 = 2 + 1 + | 3 |

= 6

Sacaram a ideia?

Sobre essas duas normas, o enunciado nos pede para mostrar que a identidade do paralelogramo dada por:

x + y 2 + x - y 2 = 2 x 2 + 2 y 2

Não é válida para as normas acima.

E, devemos fazer isso através de um exemplo numérico.

Vamos nessa!

Passo 2

Começando pela primeira definição de norma, dada por:

x M = max ⁡ x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n

Se tomarmos os vetores:

x = ( 1,2 , 1 )

y = ( 2,1 , 2 )

Teremos, no lado esquerdo da identidade do paralelogramo:

1,2 , 1 + 2,1 , 2 2 = 3,3 , 3 2

= m á x 3 , 3 , 3 2  

= 9

Beleza!

No outro termo, teremos:

x - y 2 = 1,2 , 1 - 2,1 , 2 2

= - 1,1 , - 1 2

= m á x   - 1 ,   1 2

= 1 2 = 1  

Portanto, o lado esquerdo da identidade do paralelogramo vale:

x + y 2 + x - y 2 = 9 + 1

= 10

Vamos guardar esse resultado!

Agora, calculando o lado direito dessa identidade, temos:

x = m á x 1 ,   1 , 1

= 2

E:

y = m á x 2 ,   1 ,   2

= 2

Assim, vamos ter no lado direito da identidade do paralelograma:

2 x 2 + 2 y 2 = 2 ⋅ 2 2 + 2 ⋅ 2 2

= 16

Ou seja, resumindo, encontramos que:

x + y 2 + x - y 2 = 10 2 x 2 + 2 y 2 = 16

Como o lado esquerdo da identidade é diferente do lado direito, concluímos que a identidade do paralelogramo não vale para essa norma.

Passo 3

Vamos agora usar a mesma ideia para verificar a identidade do paralelogramo, mas com a norma:

x S = x 1 + x 2 + … + | x n |

Usando os mesmos vetores de exemplo no R 3 .

x = ( 1,2 , 1 )

y = ( 2,1 , 2 )

Daí, substituindo no lado direito da identidade do paralelogramo:

x + y ​ 2 = 3,3 , 3 2

= 3 + 3 + 3 2

= 81  

Já para o próximo termo, temos:

x - y 2 = - 1,1 , - 1 2

= - 1 + 1 + - 1 2

= 9

Juntando o lado direito, temos:

x + y 2 + x - y 2 = 81 + 9

= 90

Vamos agora para o lado esquerdo:

x = 1 + 2 + 1

= 4

E:

y = 2 + 1 + 2

= 5

Daí, voltando para o lado esquerdo da identidade do paralelogramo, temos:

2 x 2 + 2 y 2 = 2 ⋅ 4 2 + 2 ⋅ 5 2

= 82

Ou seja, usando essa norma também tivemos que:

x + y 2 + x - y 2 ≠ 2 x 2 + 2 y 2

E, prontinho! Provamos o que o enunciado nos pediu 😊

Até a próxima pessoal!

Resposta

Resposta no texto.

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