Resolva em R as inequações abaixo:

b) x 4 - 10 x 2 + 9 < 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma inequação de quarto grau e pediu pra gente encontrar os valores de x para os quais ela está definida no conjunto dos números reais (em R ).

x 4 - 10 x 2 + 9 < 0

Então, nós precisamos encontrar os valores onde a função é negativa (ou nula). Pra facilitar nossa vida e nos ajudar a verificar os sinais da função, vamos primeiro fazer a fatoração da equação e escrever ela como um produto. Em seguida, vamos verificar as raízes da equação e fazer o estudo de sinais.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar fatorando a equação:

x 4 - 10 x 2 + 9 < 0

Escrevendo como o produto:

x 2 - 9 x 2 + 1 < 0

x + 3 x - 3 x 2 + 1 < 0

Passo 3

Agora vamos analisar cada termo, verificando os valores onde são iguais a zero.

Temos:

x - 3 = 0 → x = 3

Com o intervalo negativo em ( - ∞ ,   3 ) .

Da segunda equação, temos:

x + 3 = 0 → x = - 3

Onde podemos escrever o intervalo ( - ∞ ,   - 3 ) .

Agora, de x 2 + 1 , temos:

x 2 + 1 = 0

x 2 = - 1

x 2 = ± - 1

Percebeu que a gente tem uma raiz negativa? Então, essa função não tem solução dentro dos números reais. Sendo assim, vamos considerar apenas as duas primeiras equações.

Passo 4

Juntando todos esses intervalos numa tabelinha, vamos estudar o sinal das equações:

Como queremos:

x + 3 x - 3 x 2 + 1 < 0

Vamos selecionar os valores de x nos intervalos que satisfaçam a desigualdade (olhando pra primeira linha da tabela). Dessa forma, temos:

S = ( - 3 ,   3 )

Prontinho. Valeu, galera! 😉

Resposta

S = ( - 3 ,   3 )

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