Resolva em R as inequações abaixo:

k) 2 3 x - 1 ≥ 1 x - 1 - 1 x + 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu algumas inequações (que são equações que não possuem igualdade, lembra?) e pediu pra gente resolver dentro do conjunto dos números reais, ou seja, em R . Tá, mas como a gente resolve isso?

Resolve-las significa encontrar os valores de x que satisfazem essa condição de desigualdade. No nosso caso, a condição no item k) é:

2 3 x - 1 ≥ 1 x - 1 - 1 x + 1

Quando nós temos um quociente e uma desigualdade, nós precisamos avaliar os sinais tanto do numerador, quanto do denominador, que satisfaçam aquela condição.

Nós temos uma relação maior ou igual a que zero. Dessa forma, nós vamos escrever todo mundo no mesmo denominador e avaliar cada caso para encontrar os valores de x que satisfaçam a condição de desigualdade.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar colocando todo mundo do lado direito no mesmo denominador, tirando o m.m.c.:

2 3 x - 1 ≥ 1 x - 1 - 1 x + 1

2 3 x - 1 ≥ x + 1 - x + 1 ( x - 1 ) ( x + 1 )

2 3 x - 1 ≥ 2 ( x - 1 ) ( x + 1 )

Agora vamos subtrair 2 ( x - 1 ) ( x + 1 ) dos dois lados:

2 3 x - 1 - 2 x - 1 x + 1 ≥ 0

Tirando o m.m.c. de novo, temos:

2 x - 1 x + 1 - 2 ( 3 x - 1 ) ( 3 x - 1 ) x - 1 x + 1 ≥ 0

2 x ( x - 3 ) ( 3 x - 1 ) x - 1 x + 1 ≥ 0

Podemos simplificar dividindo os dois lados por 2 :

x ( x - 3 ) ( 3 x - 1 ) x - 1 x + 1 ≥ 0

Passo 3

Beleza, agora temos a condição desse quociente ser maior ou igual a zero. Isso vai acontecer quando numerador e denominador tiverem sinais iguais, certo? Lembrando que o denominador nunca pode ser zero.

Logo, temos no primeiro caso:

x x - 3 ≥ 0

3 x - 1 x - 1 x + 1 > 0

Vamos encontrar onde essas funções cortam o eixo x fazendo:

x x - 3 = 0

Encontramos:

x 1 = 0   e   x 2 = 3

Vamos dá uma olhadinha no gráfico:

Repara que essa função é positiva de ( - ∞ ,   0 ] e em [ 3 ,   + ∞ ) . Ou seja:

A = - ∞ ,   0 ∪ [ 3 ,   + ∞ )

Passo 4

No caso de 3 x - 1 x - 1 x + 1 > 0 , podemos separar as três retas pra ver onde elas são positivas:

3 x - 1 = 0 → x = 1 3

x - 1 = 0 → x = 1

E por fim,

x + 1 = 0 → x = - 1

Repare que as três são positivas depois que atravessam o eixo x , beleza? Também poderíamos satisfazer a inequação, fazendo:

x x - 3 ≤ 0

3 x - 1 x - 1 x + 1 < 0

As raízes e os gráficos não mudam, o que muda é que agora a gente consideraria os intervalos onde essas funções são negativas. Vamos juntar tudo numa tabelinha pra fica melhor.

Passo 5

Fazendo estudo de sinal de cada função, temos:

Como queremos que a nossa equação seja maior ou igual a zero:

x ( x - 3 ) ( 3 x - 1 ) x - 1 x + 1 ≥ 0

Vamos selecionar os intervalos em que x é positivo (ou nulo) olhando para a primeira linha da tabela. E temos nosso conjunto solução:

S = - 1 ,   0 ∪ 1 3 , 1 ∪ [ 3 ,   + ∞ )

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

S = - 1 ,   0 ∪ 1 3 , 1 ∪ [ 3 ,   + ∞ )

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