Resolva em R as inequações abaixo:

e) 3 x + 1 3 2 - 5 x 5 x + 4 8 > 0 .

f) 2 x - 4 2 3 x - 5 3 x - 3 4 ≤ 0 .

Passo 1

Eaí pessoal, tudo na paz?

Nessa questão temos duas inequações bem divertidas pra resolver haha. Começando pelo item a), temos:

3 x + 1 3 2 - 5 x 5 x + 4 8 > 0

Nesses casos com vários monômios se multiplicando, precisamos analisar o sinal um por um, e depois fazer o estudo do sinal.

Começando por:

3 x + 1 3

Como o expoente é ímpar, podemos ter valores negativos.

Se:

3 x + 1 > 0

∴ x > - 1 3

teremos 3 x + 1 3 > 0

caso contrário, temos 3 x + 1 3 ≤ 0 .

Portanto:

Fazendo a mesma análise para o próximo termo, com o expoente é negativo, temos:

2 - 5 x 5

Se:

2 - 5 x > 0

⇒ 2 > 5 x

x < 2 5

Então, 2 - 5 x 5 > 0 . Caso contrário, será menor ou igual a zero. Assim:

Analisando o último termo, vemos que como x + 4 8 tem expoente par, não importa o valor que x assumir essa expressão sempre será positiva.

Vamos então fazer o estudo do sinal:

Logo, para que nossa inequação seja negativa, devemos ter:

x ∈ R   |   x < - 1 3 ∪ x > 2 5

Prontinho!

Passo 2

Nesse próximo item o raciocínio é bem semelhante. Agora temos:

2 x - 4 2 3 x - 5 3 x - 3 4 ≤ 0

A diferença é que temos dois termos com expoente positivo: 2 x - 4 2 e x - 3 4 .

Assim, para eles não importa o valor que x assumir, a expressão sempre será positiva.

Sendo assim, o sinal do produto desses termos ficará em cargo do termo:

3 x - 5 3

Já que o seu expoente é ímpar, vale que se:

3 x - 5 ≤ 0 ∴ 3 x - 5 3 ≤ 0 3 x - 5 ≥ 0 ∴ 3 x - 5 3 ≥ 0

Como para a inequação queremos que seja menor ou igual a zero, ou seja, o primeiro caso. Temos:

3 x - 5 ≤ 0

3 x ≤ 5

x ≤ 5 3

Portanto, essa é a solução! Teremos:

2 x - 4 2 3 x - 5 3 x - 3 4 ≤ 0

Se x ≤ 5 3 .

Prontinho gente! Matamos mais uma questão!

Obrigado pela atenção e até a próxima 😊

Resposta

a) x < - 1 3 ∪ x > 2 5

b) x ≤ 5 3

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Neste exercício você deverá admitir como conhecidas apenas as propriedades A 1 a ( A 4 ) , ( M 1 ) a M 4 , D , O 1 a O 4 , O A e O M . Supondo x , y reais quaisquer, prove: x ∙ 0 = 0
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