7.21. Prove as seguintes desigualdades:

(a) 2 x > 3 - 1 x , para todo x > 1

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema temos que provar algumas desigualdades. No item a) queremos provar que 2 x > 3 - 1 x para todo x > 1 .

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Para provar essa inequação podemos tentar simplificá-la ou provar usando algumas propriedades numéricas.

Vamos tentar? 😁

Passo 2

Temos que provar que

2 x > 3 - 1 x

Deixando tudo no mesmo denominador no lado direito, temos

2 x > 3 x - 1 x

Elevando os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz de x

2 x 2 > 3 x - 1 x 2

4 x > 9 x 2 - 6 x + 1 x

Multiplicando os dois lados por x para eliminar o denominador

4 x · x > 9 x 2 - 6 x + 1 x · x

4 x 2 > 9 x 2 - 6 x + 1

Passando tudo para um lado...

5 x 2 - 6 x + 1 < 0

5 x - 1 x - 1 < 0

Assim temos duas opções, x > 1 5 ou x > 1 , para x > 1 5 , temos

2 1 5 = 3 - 1 1 5 → 2 5 = - 2

O que é falso, portanto, não é valido!

Já para x > 1

2 1 = 3 - 1 1 → 2 = 2

O que é verdadeiro, logo provamos que 2 x > 3 - 1 x para x > 1 .

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

2 x > 3 - 1 x para x > 1

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Use um gráfico para encontrar um número δ tal que se 5x5 + δ então x ² x - 5100 ²
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Neste exercício você deverá admitir como conhecidas apenas as propriedades A 1 a ( A 4 ) , ( M 1 ) a M 4 , D , O 1 a O 4 , O A e O M . Supondo x , y reais quaisquer, prove: x ∙ 0 = 0
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