Resolva em R as inequações abaixo:

c) 5 x + 2 2 - x 4 x + 3 > 0

d) 3 - 2 x 4 x + 1 5 x + 3 ≥ 0

e) - x x - 1 2 - x x - 3 4 - x > 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu algumas inequações e pediu pra gente encontrar os valores de x que elas podem assumir dentro do conjunto dos números reais.

Assim, o que nós vamos fazer é verificar as condições para que essa inequação seja verdade, avaliando os sinais de cada equação separadamente. Em seguida, nós vamos montar uma tabelinha e fazer o estudo de sinais.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar avaliando a letra c):

5 x + 2 2 - x 4 x + 3 > 0

Vamos olhar a primeira função 5 x + 2 , sua raiz será:

5 x + 2 = 0 → x = - 2 5

Como o x é positivo na equação, a função é crescente e será negativa antes da raiz e positiva depois. Temos o seguinte gráfico:

Já pra segunda parte, teremos como raiz:

2 - x = 0 → x = 2

Como x é negativo, a função é decrescente e será positiva antes da raiz, e negativa depois, como mostra o gráfico:

E por fim, temos:

4 x + 3 = 0 → x = - 3 4

Novamente a função é crescente, negativa antes da raiz e positiva depois.

Agora vamos juntar as três partes pra fazer o quadro de sinais:

Como a condição da nossa inequação é que ela seja maior do que zero (positiva), vamos olhar na primeira linha da tabela os intervalos onde a função é positiva. Encontramos assim nosso conjunto solução:

S = - ∞ ,   - 3 4 ∪ - 2 5 ,   2

Passo 3

Vamos avaliar a letra d) agora:

3 - 2 x 4 x + 1 5 x + 3 ≥ 0

Olhando a primeira função 3 - 2 x , temos a raiz:

3 - 2 x = 0 → x = 3 2

Como x é negativo, a função é decrescente e será positiva antes da raiz, e negativa depois, como mostra o gráfico:

Já pra segunda parte, teremos como raiz:

4 x + 1 = 0 → x = - 1 4

Como x é positivo, a função é crescente e será negativa antes da raiz, e positiva depois, como mostra o gráfico:

E por fim, temos:

5 x + 3 = 0 → x = - 3 5

Novamente a função é crescente, negativa antes da raiz e positiva depois.

Agora vamos juntar as três partes pra fazer o quadro de sinais:

Como a condição da nossa inequação é que ela seja maior ou igual a zero, vamos olhar na primeira linha da tabela os intervalos onde a função é positiva e incluir as raízes no intervalo. Assim, temos nosso conjunto solução:

S = - ∞ ,   - 3 5 ∪ - 1 4 , 3 2

Passo 4

No item e), temos:

- x x - 1 2 - x x - 3 4 - x > 0

Pra o primeiro termo é negativo, a gente pode multiplicar a função por ( - 1 ) e inverter o sinal da desigualdade:

x x - 1 2 - x x - 3 4 - x < 0

Agora vamos analisar cada termo. Pra o primeiro termo, temos a raiz:

x = 0

Então, a função passa pela origem e até zero x é negativo, depois passa a ser positivo.

Para x - 1 , temos:

x - 1 = 0 → x = 1

A função é crescente, negativa antes da raiz e positiva depois, como mostra o gráfico:

Para 2 - x , temos:

2 - x = 0 → x = 2

A função é decrescente, porque o x é negativo. Assim, ela é positiva antes da raiz e negativa depois:

Para x - 3 , temos:

x - 3 = 0 → x = 3

A função é crescente, negativa antes da raiz e positiva depois:

Por fim, temos:

4 - x = 0 → x = 4

A função agora é decrescente, positiva antes da raiz e negativa depois:

Juntando tudo no nosso quadro de sinais, temos:

Olhando pra primeira linha da tabela, temos os intervalos onde a nossa inequação é negativa, já que a gente tá interessado na condição da função ser menor do que zero. Assim, temos o conjunto solução:

S = - ∞ ,   0 ∪ 1 ,   2 ∪ ( 3 ,   4 )

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

c) S = - ∞ ,   - 3 4 ∪ - 2 5 ,   2

d) S = - ∞ ,   - 3 5 ∪ - 1 4 , 3 2

e) S = - ∞ ,   0 ∪ 1 ,   2 ∪ ( 3 ,   4 )

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