Resolva em R as inequações abaixo:

f) x x + 1 - x x - 1 ≥ 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu a inequação com um quociente e pediu pra gente encontrar os valores de x para os quais ela está definida no conjunto dos números reais (em R ).

Então, o que nós vamos fazer é colocar tudo no mesmo denominador, e avaliar os sinais da função encontrando suas raízes.

Em seguida, nós vamos montar um quadro e fazer o estudo de sinal de cada termo e ver onde os intervalos satisfazem a inequação.

Vamos lá!

Passo 2

Temos a inequação:

x x + 1 - x x - 1 ≥ 0

Vamos começar tirando o m.m.c. pra colocar todo mundo no mesmo denominador:

x x - 1 - x ( x + 1 ) ( x + 1 ) ( x - 1 ) ≥ 0

Multiplicando termo a termo e simplificando:

x 2 - x - x 2 - x ( x + 1 ) ( x - 1 ) ≥ 0

- 2 x ( x + 1 ) ( x - 1 ) ≥ 0

Multiplicando os dois lados por - 1 2 e invertendo o sinal de desigualdade, temos:

- 2 x ( x + 1 ) ( x - 1 ) ∙ - 1 2 ≥ 0 ∙ - 1 2

x ( x + 1 ) ( x - 1 ) ≤ 0

Abrindo o produto do denominador:

x x 2 - x + x - 1 ≤ 0

x x 2 - 1 ≤ 0

Agora sim ficou mais bonitinho pra gente resolver. Você percebeu que a gente tem um equação do primeiro grau no numerador, que representa uma reta, e uma equação do segundo grau no denominador, que representa uma parábola? Então, vamos analisar cada uma delas.

Vamos começar analisando a equação do numerador e verificando os valores onde ela é igual a zero:

x = 0

Simples assim, haha. Ela representa uma reta que passa pela origem:

Repare que ela começa negativa e, somente depois que passa por 0 , ela se torna positiva. Mas agora nós estamos interessados em onde a função é negativa (ou nula), já que essa é a condição da inequação que encontramos.

Assim, temos o intervalo:

A = [ 0 ,   + ∞ )

Passo 3

Pra segunda equação, que tá no denominador, temos:

x 2 - 1 = 0

Vamos encontrar as raízes simplesmente isolando x :

x 2 = 1

x = ± 1 = ± 1

Logo,

x 1 = - 1  

x 2 = 1

Vamos esboçar seu gráfico:

Agora vamos analisar o gráfico. Repare que aqui a função começa positiva até cortar o eixo x em - 1 . Aí, ela passa a ser negativa até cortar o eixo x novamente em 1 . E depois de 1 , a função volta a ser positiva.

Então, vamos escrever intervalo onde nossa função é negativa. Só que agora esse intervalo vai ser aberto dos dois lados, porque o denominador de uma fração nunca pode ser zero, então não podemos considerar os zeros da função, beleza?

E aí fica assim:

B = - 1 ,   1

Passo 4

Beleza, agora vamos analisar como fica o quociente dessas duas funções, que é a nossa inequação: x x 2 - 1 ≤ 0

Vamos pegar os intervalos A e B que nós encontramos nos passos anteriores e montar a nossa tabelinha para estudar os sinais:

Como a inequação nos diz que o quociente menor ou igual a zero, vamos selecionar os intervalos onde o sinal é negativo (olhando pra primeira linha da tabela). Assim, o nosso conjunto solução é:

S = - ∞ ,   - 1 ∪ [ 0 ,   1 )

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

S = - ∞ ,   - 1 ∪ [ 0 ,   1 )

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