Resolva as inequações dos exercícios 1 a 12.

11. x + 1 2 - x < x x + 3

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Nessa questão, vamos resolver essa inequação de segundo grau. Os passos são bem parecidos com o de uma equação, mas ao invés de uma igualdade, vamos ter um sinal de maior ou menor na nossa inequação.

Bora lá!

Passo 2

Temos a seguinte inequação,

x + 1 2 - x < x x + 3

Beleza, primeiramente vamos ajeitar essa inequação para eliminar esse termo do denominador.

Passando para o outro lado, temos:

x + 1 x + 3 < x 2 - x

x 2 + 4 x + 3 < 2 x - x 2

Jogando tudo que é x para o mesmo lado sem pudor algum:

x 2 + 4 x + 3 + x 2 - 2 x < 0

2 x 2 + 2 x + 3 < 0

Agora temos uma inequação do segundo grau! Bora resolver!

Passo 3

Vamos achar as raízes, para então fazer o estudo do sinal:

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 2 ± 2 2 - 4 ( 2 ) ( 3 ) 2 2 = 5 ± - 20 2

Repara que caímos em uma raíz negativa. Como não existe raiz quadrada real para número negativo, isso significa que a nossa função não corta o eixo x . Ou seja, ela é toda positiva ou toda negativa.

Passo 4

Então, galerinha, agora para descobrir qual solução satisfaz a nossa inequação, basta substituirmos qualquer valor em x . Se o resultado der negativo, significa que qualquer valor de x é solução da nossa inequação; Se for positivo a nossa inequação não existe.

Lembrando que a nossa inequação é

2 x 2 + 2 x + 3 < 0

Podemos escolher x = 0

2 0 2 + 2 0 + 3 = + 6 > 0

Logo, ela é positiva nesse intervalo.

A solução será, portanto:

x = ∄

Resposta

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