Resolva as inequações dos exercícios 1 a 12.

3. 2 x 2 - x - 10 > 0

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Nessa questão, vamos resolver essa inequação de segundo grau. Os passos são bem parecidos com o de uma equação, mas ao invés de uma igualdade, vamos ter um sinal de maior ou menor na nossa inequação.

Bora lá!

Passo 2

O problema nos forneceu a seguinte inequação,

2 x 2 - x - 10 > 0

Vamos achar as raízes, para então fazer o estudo do sinal:

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = 1 ± - 1 2 - 4 ( 2 ) ( - 10 ) 2 2 = 1 ± 81 4 = 1 ± 9 4

Logo:

x 1 = - 2 x 2 = 5 2

Passo 3

A partir disso, dividimos o domínio em intervalos limitados pelas raízes e testamos o sinal, que só muda quando passa na raiz, ou seja, podemos escolher qualquer valor nos intervalos gerados que garantiremos que o sinal não muda naquele intervalo. Eles serão:

- ∞ , - 2 - 2 , 5 2   5 2 ,   ∞

Para o primeiro intervalo, podemos escolher x = - 3 para o intervalo - ∞ , - 2 :

2 - 3 2 - - 3 - 10 = 11 > 0

Logo, ela é positiva nesse intervalo.

Para o segundo, podemos escolher o x = 0 , para o intervalo - 2 , 5 2 :

2 0 2 - 0 - 10 = - 10 < 0

Logo, ela é negativa nesse intervalo.

Para o terceiro, podemos escolher x = 5 , para o intervalo 5 2 , + ∞ :

2 5 2 - 5 - 10 = 35 > 0

Logo, ela é positiva nesse intervalo.

Passo 4

Voltando a inequação do problema, temos:

2 x 2 - x - 10 > 0

Queremos, portanto, o intervalo com valor positivo da expressão, ou seja:

- ∞ , - 2 e 5 2 ,   ∞

A solução será, portanto:

x ∉ - 2 , 5 2

Resposta

x ∉ - 2 , 5 2

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