Determine para que valores de x as expressões abaixo fazem sentido (em R ):

a) 2 x - 4

b) 1 2 x - 4

c) - 1 - x - 2 + x 4

d) - 1 - x 4 - 2 + x 4

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu algumas equações irracionais (que são aquelas que envolvem radicais – raízes) e pediu pra gente encontrar os valores de x para os quais elas estão definidas no conjunto dos números reais (em R ).

Pra descobrir os valores de x , vamos considerar as restrições de cada equação, ou seja, os valores que x não podem assumir. No caso de uma raiz de índice par, nós sabemos que o que tá dentro da raiz (o radicando) precisa ser maior ou igual a zero. No caso de uma fração, nós sabemos que o denominador não pode ser zero.

Então, vamos avaliar cada caso, de acordo com as restrições, e descobrir os valores de x para os quais elas estão definidas.

Vamos lá!

Passo 2

No item a), temos:

2 x - 4

A gente sabe que o radicando não pode ser negativo, então vamos escrever:

2 x - 4 ≥ 0

Isolando x , temos:

2 x ≥ 4

x ≥ 2

Logo, os valores de x que a expressão pode assumir em R estão no intervalo:

S = [ 2 ,   ∞ )

Passo 3

No item b), temos:

1 2 x - 4

Então, temos duas restrições: o denominador não pode ser zero e o radicando tem que ser maior ou igual a zero. Dessa forma, nosso denominador só pode ser positivo, ou seja:

2 x - 4 > 0

Isolando x :

2 x > 4

x > 2

Logo, os valores de x que a expressão pode assumir em R estão no intervalo:

S = ( 2 ,   ∞ )

Passo 4

No item c),

- 1 - x - 2 + x 4

Nossa raiz também tem índice par ( n = 4 ), então o radicando precisar ser maior ou igual a zero. E não podemos esquecer que o denominador não pode ser zero. Então:

- 1 - x - 2 + x ≥ 0

- 2 + x > 0

Pra que - 1 - x - 2 + x ≥ 0 seja verdade, o sinais do numerador e do denominador precisam ser iguais, certo? Então, ambos são positivos ou ambos negativos.

Se ambos forem positivos:

- 1 - x ≥ 0 → x ≤ - 1

- 2 + x > 0 → x > 2

Mas dá pra um número ser menor que - 1 e maior do que 2 ao mesmo tempo? Não dá, né? Então, vamos ver a outra possibilidade.

Se ambos forem negativos:

- 1 - x ≤ 0 → x ≥ - 1

- 2 + x < 0 → x < 2

Então, x pode assumir valores maiores ou iguais a - 1 e menores do que 2 , ou seja:

S = [ - 1 ,   2 )

Passo 5

Por fim, temos o item d):

- 1 - x 4 - 2 + x 4

Agora nossos radicandos precisam ser positivos e o denominador diferente de zero. Então:

- 1 - x ≥ 0 → x ≤ - 1

- 2 + x > 0 → x > 2

Como nós vimos no item anterior, não para um número ser menor do que - 1 e maior do que 2 ao mesmo tempo, então não existem valores de x definidos em R para a expressão. E podemos escrever:

S = ∅

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a) S = [ 2 ,   ∞ )

b) S = ( 2 ,   ∞ )

c) S = [ - 1 ,   2 )

d) S = ∅

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