Determine para que valores de x as expressões abaixo fazem sentido (em R ):

a) - x 2 + 1 x 2 - 2 x - 15

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu a raiz de quociente de equações do segundo grau e pediu pra gente encontrar os valores de x para os quais ela está definida no conjunto dos números reais (em R ).

Uma raiz de índice par, precisa ser teu seu radicando maior ou igual a zero, certo? Então, pra que esteja definida em R , temos a condição:

- x 2 + 1 x 2 - 2 x - 15 ≥ 0

Assim, o que nós vamos fazer é verificar as condições para que essa inequação seja verdade, avaliando os sinais de cada equação separadamente, em cada condição de desigualdade. Em seguida, nós vamos montar uma tabelinha e fazer o estudo de sinais.

Vamos lá!

Passo 2

Para que - x 2 + 1 x 2 - 2 x - 15 seja maior ou igual a zero, precisamos que numerador e denominador tenham sinais iguais (lembrando que o denominador nunca pode ser zero). Então, num primeiro caso, temos:

- x 2 + 1 ≥ 0

x 2 - 2 x - 15 > 0

Da primeira equação, usando Bhaskara, temos:

x = 0 ± 0 + 4 - 2

Que nos dá as raízes:

x 1 = - 1

x 2 = 1

Nós estamos interessados nos locais onde a função é positiva:

Repare que é positiva quando tá acima do eixo x , no intervalo:

A = [ - 1 ,   1 ]

Agora vamos analisar x 2 - 2 x - 15 > 0 . Verificando suas raízes:

x 2 - 2 x - 15 = 0

x = 2 ± 4 + 60 2 = 2 ± 8 2

Encontramos:

x 1 = 5

x 2 = - 3

Vamos ver onde a função é positiva:

Repara que ela só é positiva antes de atravessar o eixo x , em ( - ∞ ,   - 3 ) , e depois em ( 5 ,   + ∞ ) . Assim, temos o conjunto:

B = - ∞ ,   - 3 ∪ ( 5 ,   ∞ )

Passo 3

Mas - x 2 + 1 x 2 - 2 x - 15 também pode ser maior ou igual a zero se:

- x 2 + 1 ≤ 0

x 2 - 2 x - 15 < 0

A raízes e os gráficos são os mesmos nesse caso. O que muda são os intervalos que nós estamos interessados. Por exemplo, pra primeira desigualdade, queremos saber onde a função é negativa ou nula, olhando no gráfico do passo anterior, nós vemos que isso acontece em:

C = - ∞ ,   - 1 ∪ [ 1 ,   ∞ )

E pra segunda equação queremos os valores onde a função é apenas negativa. Isso acontece em:

D = ( - 3 ,   5 )

Agora vamos estudar os sinais nesses intervalos e ver o que temos:

Lembra que nós definimos no passo 1 :

- x 2 + 1 x 2 - 2 x - 15 ≥ 0

Então, vamos selecionar os intervalos em que x é positivo ou nulo. Olhando pra primeira linha da tabela, isso acontece em:

S = - 3 ,   - 1 ∪ [ 1 ,   5 )

Que é nosso conjunto solução.

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

S = - 3 ,   - 1 ∪ [ 1 ,   5 )

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