Resolva em R as inequações abaixo:

b) 1 - 4 x 2 2 x 2 + 3 x > 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu a inequação de segundo grau e pediu pra gente encontrar os valores de x para os quais elas estão definidas no conjunto dos números reais (em R ).

Então, o que nós vamos fazer é encontrar as raízes de cada equação, pra a partir daí montar o gráfico e verificar os intervalos onde a função é negativa ou positiva. Em seguida, nós vamos montar um quadro e fazer o estudo de sinal de cada produto e ver quais os intervalos que satisfazem a inequação.

Vamos lá!

Passo 2

No item b), temos:

1 - 4 x 2 2 x 2 + 3 x > 0

Vamos encontrar as raízes de cada equação e esboçar seus gráficos. Começando com:

1 - 4 x 2 = 0

Isolando x , encontramos as raízes:

x 1 = 1 2

x 2 = - 1 2

Esboçando seu gráfico:

Repara que a função é negativa até cortar o x em - 1 2 . Então, ela é positiva até 1 2 , onde corta novamente o eixo x e volta a ser negativa. Assim, o intervalo onde a função é positiva é:

A = - 1 2 , 1 2

Passo 3

Agora vamos ver a segunda equação:

2 x 2 + 3 x = 0

Encontrando suas raízes:

x = - 3 ± 9 - 0 2 2 = - 3 ± 3 4

x 1 = 0

x 2 = - 3 2

Esboçando o gráfico:

Repare que agora a função começa positiva até cortar o eixo x em - 3 2 . Passa a ser negativa até 0 , onde corta novamente o eixo x e volta a ser positiva. Então, os intervalos onde a nossa função é positiva são:

B = - ∞ ,   - 3 2 ∪ 0 ,   + ∞

Montando agora nossa tabela e fazendo agora o estudo de sinais:

Como queremos:

1 - 4 x 2 2 x 2 + 3 x > 0

Vamos selecionar os intervalos onde o sinal é positivo (olhando pra primeira linha da tabela). Assim, o nosso conjunto solução é:

S = - 3 2 ,   - 1 2 ∪ 0 , 1 2

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

S = - 3 2 ,   - 1 2 ∪ 0 , 1 2

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