Resolva em R as inequações abaixo:

a) x - 2 > 1

b) 2 x - 1 - 4 ≤ 3

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu algumas inequações envolvendo módulo e pediu pra gente encontrar os valores de x para os quais ela está definida no conjunto dos números reais (em R ).

Existe um teorema que nós vamos usar muito, que nos diz que se x pertence a R e a é um número real positivo, então nós podemos escrever x < a na forma:

- a < x < a

Sendo assim, o que nós vamos fazer é sempre tentar escrever a inequação nessa forma para encontrar o intervalo onde x tá variando, beleza?

Vamos lá!

Passo 2

No item a), temos a inequação:

x - 2 > 1

Repara que nós temos um módulo dentro do outro, mas não precisa se desesperar, porque o método é o mesmo. Então, vamos começar escrever o módulo de fora conforme o teorema:

x - 2 > 1

x - 2 < - 1

Agora vamos avaliar cada caso. Vamos começar somando 2 dos dois lados da primeira inequação:

x - 2 + 2 > 1 + 2

x > 3

Aplicando novamente o teorema, temos:

x > 3     o u   x < - 3

Podemos resumir isso no conjunto:

A = - ∞ ,   - 3 ∪ ( 3 ,   ∞ )

Pra segunda inequação, vamos também somar 2 nos dois lados:

x - 2 + 2 < - 1 + 2

x < 1

Aplicando o teorema, temos:

x > - 1   o u   x < 1

Podemos escrever no intervalo B = ( - 1 ,   1 ) .

Juntando os dois conjuntos, temos nossa solução geral:

S = - ∞ ,   - 3 ∪ ( - 1 ,   1 ) ∪ ( 3 ,   ∞ )

Vamos para a próxima!

Passo 3

Na letra b), nós temos:

2 x - 1 - 4 ≤ 3

Usando a propriedade do passo 1 , temos:

2 x - 1 - 4 ≤ 3

2 x - 1 - 4 ≥ - 3

Vamos somar 4 dos dois lados em cada inequação:

2 x - 1 ≤ 7

2 x - 1 ≥ 1

Continuamos tendo duas inequações modulares, então vamos aplicar de novo o teorema na primeira inequação:

2 x - 1 ≥ - 7 → x ≥ - 3

2 x - 1 ≤ 7 → x ≤ 4

Então, nosso intervalo é [ - 3 ,   4 ] .

Pra segunda inequação, temos:

2 x - 1 ≥ 1 → x ≥ 1

2 x - 1 ≤ - 1 → x ≤ 0

E nossos intervalos são - ∞ ,   0 ∪ [ 1 ,   ∞ ) .

Juntando tudo, temos nosso conjunto solução:

S = - ∞ ,   0 ∪ - 3 ,   4 ∪ 1 ,   ∞

Prontinho. Valeu, galera! 😉

Resposta

a) S = - ∞ ,   - 3 ∪ ( - 1 ,   1 ) ∪ ( 3 ,   ∞ )

b) S = - ∞ ,   0 ∪ - 3 ,   4 ∪ 1 ,   ∞

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