Resolva as inequações dos exercícios 1 a 12.

12. x 2 + x < x 3 + 1

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Nessa questão, vamos resolver essa inequação de terceiro grau. Os passos são bem parecidos com o de uma equação, mas ao invés de uma igualdade, vamos ter um sinal de maior ou menor na nossa inequação.

Bora lá!

Passo 2

Temos a seguinte inequação,

x 2 + x < x 3 + 1

Beleza, primeiramente vamos ajeitar essa inequação, jogando tudo que é x para o mesmo lado sem pudor algum:

- x 3 + x 2 + x - 1 < 0

Agora temos uma inequação do terceiro grau! Bora resolver!

Passo 3

Então, galerinha, para resolver essa inequação, vamos ter que reescrever o nosso polinomio de terceiro grau.

E vamos fazer isso, aplicando o nosso famoso processo de Briot-Ruffini! Com ele conseguiremos reduzir o grau do nosso polinômio até chegar numa equação que conseguimos resolver!

Para usá-lo, precisamos conhecer pelo menos uma raiz da expressão que queremos reduzir o grau. Nesse caso, vamos testar alguns valores de x e ver se damos sorte:

Vamos primeiro testar x = 0

- x 3 + x 2 + x - 1 = 0

Substituindo o valor, temos

- 0 3 + ( 0 ) 2 + 0 - 1 = 0

- 1 = 0

Opa, essa igualdade não é verdade! - 1 ≠ 0 . Logo, x = 0 não é raíz dessa equação!

Vamos testar x = 1

- 1 3 + 1 2 + 1 - 1 = 0

- 1 + 1 + 1 - 1 = 0

0 = 0

Opaaaaa, com x = 1 , nossa expressão zerou, o que significa que a igualdade será válida e 1 é uma raiz da nossa equação.

Passo 4

Agora sim, vamos a Briot Ruffini, com esse método vamos reescrever nossa equação como uma multiplicação de ( x - r ) , onde esse r é a raiz que conhecemos, vezes um outro polinômio de grau menor. No nosso caso, teremos:

x - 1 . a l g u m   o u t r o   p o l i n o m i o = 0

Beleza?! Então vamos lá! Arrumando o quadro, ficamos com:

Agora, vamos escrever os três números restantes que encontramos como coeficientes de uma expressão do 2º grau:

- 1 x 2 + + 2 x + - 1

Essa expressão é o polinômio que estávamos procurando e podemos reescrever nossa equação como:

x - 1 - x 2 + 2 x - 1 = 0

Portanto, nossas soluções serão:

x - 1 = 0         o u         - x 2 + 2 x - 1

O resultado da primeira parte, já conhecemos:

x = 1

Para a segunda, como temos uma equação do 2º grau, vamos usar a fórmula de Bhaskara. Resolvendo,

- x 2 + 2 x - 1 = 0

Temos que

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 2 ± 2 2 - 4 ( - 1 ) ( - 1 ) 2 - 1 = - 2 ± 1 - 2 = - 2 ± 1 - 2

Logo:

x 1 = 1 2 x 2 = 3 2

Agora vamos fazer o estudo do sinal!

Passo 5

Então, pessoal, o que vamos fazer aqui é anisar os intervalos onde o termo é positivo e negativo.

Agora, vamos fazer a multiplicação dos sinais em cada coluna, e saber o sinal é menor ou maior que zero.

Ou seja, ela será menor que zero nos intervalos 1 2 , 1 e 3 2 , + ∞ .

A solução será, portanto:

x ∈   1 2 , 1 U 3 2 , + ∞

Resposta

x ∈   1 2 , 1 U 3 2 , + ∞

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