Resolva em R as inequações abaixo:

a) x 4 - 10 x 2 + 9 ≤ 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma inequação de quarto grau e pediu pra gente encontrar os valores de x para os quais ela está definida no conjunto dos números reais (em R ).

x 4 - 10 x 2 + 9 ≤ 0

Então, nós precisamos encontrar os valores onde a função é negativa (ou nula). Pra facilitar nossa vida e nos ajudar a verificar os sinais da função, vamos primeiro fazer a fatoração da equação e escrever ela como um produto. Em seguida, vamos verificar as raízes da equação e fazer o estudo de sinais.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar fatorando a equação:

x 4 - 10 x 2 + 9 ≤ 0

Somando e subtraindo x 3 , não alteramos a equação, e temos:

x 4 + x 3 - x 3 - x 2 - 9 x 2 + 9 ≤ 0

Agrupando os termos:

x 3 x - 1 + x 2 x - 1 - 9 x 2 - 1 ≤ 0

x 3 x - 1 + x 2 x - 1 - 9 ( x + 1 ) ( x - 1 ) ≤ 0

Vamos colocar os termos semelhantes em evidência:

x - 1 x 3 + x 2 - 9 x 2 - 9 ≤ 0

x - 1 ( x + 1 ) x 2 - 3 x + 3 x - 9 ≤ 0

x - 1 ( x + 1 ) x x - 3 + 3 ( x - 3 ) ≤ 0

E chegamos no produto:

x - 1 ( x + 1 ) ( x - 3 ) ( x + 3 ) ≤ 0

Passo 3

Agora vamos analisar cada termo, calculando suas raízes e esboçando os gráficos:

x - 1 = 0 → x = 1

Repare que a função é positiva apenas de 1 em diante. Como nossa inequação é menor ou igual a zero, nós queremos o intervalo onde a função é negativa, isso acontece em ( - ∞ ,   1 ) , como mostra o gráfico.

Para a segunda equação, temos:

x + 1 = 0 → x = - 1

Que é negativa no intervalo - ∞ ,   - 1 .

A nossa terceira equação nos dá:

x - 3 = 0 → x = 3

Com o intervalo negativo em ( - ∞ ,   3 ) .

E por fim, temos:

x + 3 = 0 → x = - 3

Onde podemos escrever o intervalo ( - ∞ ,   - 3 ) .

Passo 4

Juntando todos esses intervalos numa tabelinha, vamos estudar o sinal das equações:

Como queremos:

x - 1 ( x + 1 ) ( x - 3 ) ( x + 3 ) ≤ 0

Vamos selecionar os valores de x nos intervalos que satisfaçam a desigualdade. Dessa forma, temos:

S = - 3 ,   - 1 ∪ [ 1 ,   3 ]

Prontinho. Valeu, galera! 😉

Resposta

S = - 3 ,   - 1 ∪ [ 1 ,   3 ]

Exercícios de Livros Relacionados

Use um gráfico para encontrar um número δ tal que se 5x5 + δ então x ² x - 5100 ²
Resolva a inequação.(x - 2) (x + 2)0
Estude o sinal da expressão.3 x - 1 0
Neste exercício você deverá admitir como conhecidas apenas as propriedades A 1 a ( A 4 ) , ( M 1 ) a M 4 , D , O 1 a O 4 , O A e O M . Supondo x , y reais quaisquer, prove: x ∙ 0 = 0
Estude o sinal da expressão.(2 x - 1) (x^2 + 1)