Resolva em R as inequações abaixo:

c) x 2 + 3 x - 16 - x 2 + 7 x - 10 ≥ 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu a inequação de segundo grau com um quociente e pediu pra gente encontrar os valores de x para os quais ela está definida no conjunto dos números reais (em R ).

Então, o que nós vamos fazer é encontrar as raízes de cada equação do segundo grau, pra a partir daí montar o gráfico e verificar os intervalos onde a função é negativa ou positiva.

Em seguida, nós vamos montar um quadro e fazer o estudo de sinal de cada produto e ver quais os intervalos que satisfazem a inequação.

Vamos lá!

Passo 2

Temos a inequação:

x 2 + 3 x - 16 - x 2 + 7 x - 10 ≥ 1

Como não temos zero do outro lado da inequação, vamos começar subtraindo 1 dos dois lados:

x 2 + 3 x - 16 - x 2 + 7 x - 10 - 1 ≥ 1 - 1

x 2 + 3 x - 16 - x 2 + 7 x - 10 - 1 ≥ 0

Agora vamos colocar tudo no mesmo denominador tirando o m.m.c.:

x 2 + 3 x - 16 - - x 2 + 7 x - 10 - x 2 + 7 x - 10 ≥ 0

2 x 2 - 4 x - 6 - x 2 + 7 x - 10 ≥ 0

Agora sim, podemos encontrar as raízes da equação em cada termo. Começando com o numerador, vamos escrever:

2 x 2 - 4 x - 6 = 0

Usando a fórmula de Bhaskara, temos:

x = 4 ± 16 - 4 ( 2 ) ( - 6 ) 2 ( 2 ) = 4 ± 64 4

Que nos dá as raízes:

x 1 = 4 + 8 4 = 3

x 2 = 4 - 8 4 = - 1

Esboçando o gráfico dessa parábola, nós temos:

Repare que a função é positiva até - 1 , que é uma de suas raízes, onde ela cruza o eixo x . Depois ela passa a ser negativa, até atravessar de novo o eixo x em 3 , onde volta a ser positiva. Escrevendo esses dois trechos onde a função é positiva em forma de intervalo, temos:

A = - ∞ ,   - 1 ∪ [ 3 ,   + ∞ )

Percebeu que nós escrevemos o intervalo fechado em - 1 e 3 ? Isso acontece porque a nossa inequação nos diz que ela é maior ou igual a zero, então consideramos também suas raízes.

Passo 3

Pra segunda equação, que tá no denominador, temos:

- x 2 + 7 x - 10 = 0

Vamos encontrar as raízes usando Bhaskara novamente:

x = - 7 ± 49 - 4 ( - 1 ) ( - 10 ) 2 ( - 1 ) = - 7 ± 9 - 2

Resolvendo:

x 1 = - 7 + 3 - 2 = 2  

x 2 = - 7 - 3 - 2 = 5

Já sabemos onde a função toca o eixo x (em x 1 = 2 e x 2 = 5 ), agora vamos esboçar seu gráfico:

Agora vamos analisar o gráfico. Repare que aqui a função começa negativa até cortar o eixo x em 2 . Aí, ela passa a ser positiva até cortar o eixo x novamente em 5 . Depois de 5 , a função volta a ser negativa.

Então, vamos escrever intervalo onde nossa função é positiva. Só que agora esse intervalo vai ser aberto dos dois lados, porque o denominador de uma fração nunca pode ser zero, então não podemos considerar os zeros da função, beleza?

E aí fica assim:

B = 2 ,   5

Passo 4

Beleza, agora vamos analisar como fica o quociente dessas duas funções, que é a nossa inequação: 2 x 2 - 4 x - 6 - x 2 + 7 x - 10 ≥ 0

Vamos pegar os intervalos A e B que nós encontramos nos passos anteriores e montar a nossa tabelinha para estudar os sinais:

Como a inequação nos diz que o quociente maior ou igual a zero, vamos selecionar os intervalos onde o sinal é positivo (olhando pra primeira linha da tabela). Assim, o nosso conjunto solução é:

S = [ - 1 ,   2 ) ∪ 3 ,   5

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

S = [ - 1 ,   2 ) ∪ 3 ,   5

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