Resolva em R as inequações simultâneas abaixo:

a) 4 < x 2 - 12 ≤ 4 x

b) x 2 + 1 ≤ 2 x 2 - 3 < - 5 x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu algumas inequações simultâneas e pediu pra gente encontrar os valores de x para os quais ela está definida no conjunto dos números reais (em R ).

Então, o que nós vamos fazer é resolve-las por partes. Primeiro vamos pegar um lado da desigualdade, depois o outro. Assim, vamos avaliar o sinal e encontrar um conjunto solução em cada caso. A interseção desses dois conjuntos será nossa solução geral.

Vamos lá!

Passo 2

No item a), temos a inequação:

4 < x 2 - 12 ≤ 4 x

Vamos pegar primeiro a desigualdade do lado esquerdo:

4 < x 2 - 12

Subtraindo 4 dos dois lados, temos:

x 2 - 12 - 4 > 0

x 2 - 16 > 0

Isolando x , nós conseguimos encontrar as raízes da equação:

x 2 - 16 = 0

x 1 = - 4       e   x 2 = 4

Esboçando o gráfico, temos:

Repare que ela começa positiva e, somente depois que passa por - 4 , ela se torna negativa. Nós estamos interessados em onde a função é positiva, já que essa é a condição da inequação que encontramos.

Assim, temos o intervalo:

A = - ∞ ,   - 4 ∪ ( 4 ,   + ∞ )

Passo 3

Olhando agora pro lado direito da inequação 4 < x 2 - 12 ≤ 4 x , temos:

x 2 - 12 ≤ 4 x

x 2 - 4 x - 12 ≤ 0

Encontrando as raízes dessa equação:

x = 4 ± 16 + 48 2 = 4 ± 8 2

x 1 = 6         e   x 2 = - 2

O gráfico dessa equação fica assim:

Repare que ela negativa somente no intervalo [ - 2 ,   6 ] , que é fechado porque nossa desigualdade também incluir o valor da função em zero. Assim, temos:

B = [ - 2 ,   6 ]

A interseção dos dois conjuntos (que são os elementos que pertencem simultaneamente aos dois) forma nossa solução geral. Ou seja,

S = A ∩ B = ( 4 ,   6 ]

Agora vamos pra o próximo item.

Passo 4

No item b), temos a desigualdade simultânea:

x 2 + 1 ≤ 2 x 2 - 3 < - 5 x

Olhando só pro lado esquerdo, temos:

x 2 + 1 ≤ 2 x 2 - 3

- x 2 + 4 ≤ 0

Podemos multiplicar os dois lados por - 1 invertendo o sinal da desigualdade:

x 2 - 4 ≥ 0

Agora vamos avaliar sua equação:

x 2 - 4 = 0

Que nos fornece as raízes:

x 2 = ± 4

x 1 = - 2       e       x 2 = 2

Plotando esse gráfico, temos:

Repare que essa função vai ser menor ou igual a zero no intervalo:

A = - ∞ ,   - 2 ∪ [ 2 ,   ∞ )

Agora vamos olhar o outro lado da inequação:

2 x 2 - 3 < - 5 x

Arrumando fica:

2 x 2 + 5 x - 3 < 0

Vamos calcular as raízes dessa equação e esboçar seu gráfico também. Temos:

x = - 5 ± 25 - 4 ( 2 ) ( - 3 ) 2 ( 2 ) = - 5 ± 7 4

x 1 = 1 2     e   x 2 = - 3

Esboçando o gráfico:

Vamos olhar agora pra onde a função é negativa, quando ela tá abaixo do eixo x . Nesse caso, temos o intervalo:

B = - 3 , 1 2

A interseção de A e B vai nos dá nosso conjunto solução. A gente sempre tem que se perguntar onde estão os elementos que estão em A = - ∞ ,   - 2 ∪ [ 2 ,   ∞ ) e B = - 3 , 1 2 ao mesmo tempo? Nesse caso, será:

S = A ∩ B = - 3 ,   - 2

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a) S = A ∩ B = ( 4 ,   6 ]

b) S = A ∩ B = - 3 ,   - 2

Exercícios de Livros Relacionados

Use um gráfico para encontrar um número δ tal que se 5x5 + δ então x ² x - 5100 ²
Resolva a inequação.(x - 2) (x + 2)0
Estude o sinal da expressão.3 x - 1 0
Neste exercício você deverá admitir como conhecidas apenas as propriedades A 1 a ( A 4 ) , ( M 1 ) a M 4 , D , O 1 a O 4 , O A e O M . Supondo x , y reais quaisquer, prove: x ∙ 0 = 0
Estude o sinal da expressão.(2 x - 1) (x^2 + 1)