Resolva em R as inequações abaixo:

c) - x 2 + x + 6 > 0

d) - x 2 + 3 2 x + 10 ≥ 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu algumas inequações (que são equações que não possuem igualdade, lembra?) e pediu pra gente resolver dentro do conjunto dos número reais, ou seja, em R . Tá, mas como a gente resolve isso?

Como temos inequações do segundo grau (onde o expoente de x é 2 ), resolve-las significa encontrar os valores de x que satisfazem essa condição de desigualdade. No nosso caso, a condição no item c) é:

- x 2 + x + 6 > 0

E no item d):

- x 2 + 3 2 x + 10 ≥ 0

Nós aprendemos que as equações do segundo grau formam uma parábola e nas inequações não é diferente. Nós estamos interessados em saber onde elas serão positivas ou negativas. Mas como vamos resolver isso?

Primeiro vamos encontrar os valores onde nossa equação é igual a zero, que serão os pontos onde o nosso gráfico encosta no eixo x . Depois nós vamos determinar o crescimento da função observando o coeficiente do x 2 (que chamamos de a ) e, em seguida, estudar os sinais do gráfico para definir o nosso conjunto solução.

Vamos lá!

Passo 2

Começando com o item c, onde temos:

- x 2 + x + 6 > 0

Para a nossa equação, temos:

- x 2 + x + 6 = 0

Encontrando as raízes dessa equação usando Bhaskara:

x = - 1 ± 1 - 4 ( - 1 ) ( 6 ) 2 ( - 1 ) = - 1 ± 5 - 2

Logo,

x 1 = - 1 + 5 - 2 = - 2

x 2 = - 1 - 5 - 2 = 3

Olhando pro valor de a (que é o coeficiente de x 2 ), temos a = - 1 , um valor negativo. Isso significa que a nossa função será voltada para baixo. O esboço do nosso gráfico fica assim:

Repare que a nossa função começa negativa, até cruzar o eixo x em - 2 . Depois ela é positiva de - 2 até 3 , onde cruza o eixo x de novo e passa a ser negativa.

Como enunciado quer saber os valores de x que tornam essa equação positiva, a resposta é o nosso conjunto solução:

S = ( - 2 ,   3 )

Passo 3

Agora vamos analisar a letra d):

- x 2 + 3 2 x + 10 ≥ 0

O primeiro passo é tentar encontrar as raízes da equação do segundo grau:

- x 2 + 3 2 x + 10 = 0

Usando Bhaskara:

x = - 3 2 ± 9 4 - 4 ( - 1 ) ( 10 ) 2 ( - 1 ) = - 3 2 ± 9 4 + 40 - 2 =   - 3 2 ± 169 4 - 2

Temos as raízes:

x 1 = - 3 2 + 13 2 - 2 = 5 - 2 = - 5 2

x 2 = - 3 2 - 13 2 - 2 = - 8 - 2 = 4

Olhando agora pra nossa função, nós temos a = - 1 . Como o coeficiente é negativo, a nossa parábola fica virada para baixo:

Repare que ela é negativa até - 5 2 , quando cruza o eixo x . Depois passa a ser positiva até 4 , quando cruza novamente o eixo x .

Como enunciado quer saber os valores de x que tornam essa equação maior ou igual a zero, a gente inclui as raízes encontradas. E temos o conjunto solução onde a função é positiva e igual a zero:

S = - 5 2 ,   4

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

c) S = ( - 2 ,   3 )

d) S = - 5 2 ,   4

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