Determine todos os valores de x tais que

| 3 x + 15 5 x - 10 | < 2

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Essa questão é muito bacana, Nosso objetivo é verificar para quais valores de x a desigualdade é válida

| 3 x + 15 5 x - 10 | < 2

Bem, aqui temos uma função módulo. Então o que quer dizer que

| 3 x + 15 5 x - 10 | < 2 ?

Ora, quer dizer que

3 x + 15 5 x - 10 < 2

e

3 x + 15 5 x - 10 > - 2

Então, para resolver, fazemos um estudo de sinais da fração.

Vale lembrar que

| x | = x   s e   x > 0 ,   e   - x     s e   x ≤ 0

Passo 2

Vamos começar resolvendo a primeira da nossa inequação

| 3 x + 15 5 x - 10 | < 2

Para isso, temos que fazer o estudo de sinal dessa fração como para x > 2 temos que 5 x - 10 > 0

e 3 x + 15 > 0   Então a fração é positiva. Logo

| 3 x + 15 5 x - 10 | < 2

⇒ - 2 < 3 x + 15 5 x - 10 < 2   s e   x > 2

Ou seja, temos

- 2 < 3 x + 15 5 x - 10

e

2 > 3 x + 15 5 x - 10

Resolvendo essa equação temos:

x > 5 / 13   e   x > 5

Passo 3

Agora, se - 5 < x < 2 o denominador dessa fração é negativo. Logo

- 2 < | 3 x + 15 5 x - 10 | < 2

⇒ - 2 < - 3 x + 15 5 x - 10 < 2   s e   - 5 < x < 2

Ou seja, temos:

- 2 < - 3 x + 15 5 x - 10

e

2 > - 3 x + 15 5 x - 10

Resolvendo essa equação obtemos

5 ≤ x     e   x ≤ 5 / 13

Passo 4

E o último caso quando x < - 5 , o sinal da fração é positivo. Então obtemos

| 3 x + 15 5 x - 10 | < 2

- 2 < 3 x + 15 5 x - 10 < 2   s e   x < - 5

Ou seja, temos:

- 2 < 3 x + 15 5 x - 10

e

2 > 3 x + 15 5 x - 10

Resolvendo a inequação obtemos:

x > 5 / 13   e   x > 5

Então, fazendo a interseção das soluções, obtemos: x > 5 e x ≤ 5 / 13

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Calculo 1, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

  x ≥ 5   e   x ≤ 5 / 13

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