Resolva em R as inequações abaixo:

e) 4 x 2 - 4 x + 1 > 0

f) - 4 x 2 + 12 x - 9 ≥ 0

g) x 2 + 3 x + 7 < 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu algumas inequações (que são equações que não possuem igualdade, lembra?) e pediu pra gente resolver dentro do conjunto dos número reais, ou seja, em R . Tá, mas como a gente resolve isso?

Como temos inequações do segundo grau (onde o expoente de x é 2 ), resolve-las significa encontrar os valores de x que satisfazem essa condição de desigualdade. No nosso caso, a condição no item e) é:

4 x 2 - 4 x + 1 > 0

No item f):

- 4 x 2 + 12 x - 9 ≥ 0

E no item g):

x 2 + 3 x + 7 < 0

Nós aprendemos que as equações do segundo grau formam uma parábola e nas inequações não é diferente. Nós estamos interessados em saber onde elas serão positivas ou negativas. Mas como vamos resolver isso?

Primeiro vamos encontrar os valores onde nossa equação é igual a zero, que serão os pontos onde o nosso gráfico encosta no eixo x . Depois nós vamos determinar o crescimento da função observando o coeficiente do x 2 (que chamamos de a ) e, em seguida, estudar os sinais do gráfico para definir o nosso conjunto solução.

Vamos lá!

Passo 2

Começando com o item e), onde temos:

4 x 2 - 4 x + 1 > 0

Para a nossa equação, temos:

4 x 2 - 4 x + 1 = 0

Encontrando as raízes dessa equação usando Bhaskara:

x = 4 ± 16 - 4 ( 4 ) ( 1 ) 2 ( 4 ) = 4 ± 0 8 = 1 2

Logo,

x 1 = x 2 = 1 2

Olhando pro valor de a (que é o coeficiente de x 2 ), temos a = 4 , um valor positivo. Isso significa que a nossa função será voltada para cima. O esboço do nosso gráfico fica assim:

Repare que a nossa função é positiva até encostar no eixo x em 1 2 , onde ela passar ser zero. Como a gente já tinha previsto calculando a sua raiz, que é ��nica.

Como enunciado quer saber os valores de x que tornam essa equação apenas positiva (não inclui o zero, nesse caso), a resposta é a união do intervalo até 1 2 e de 1 2 em diante. Logo, nosso conjunto solução é:

S = - ∞ , 1 2 ∪ 1 2 ,   ∞

Passo 3

Agora vamos analisar a letra f):

- 4 x 2 + 12 x - 9 ≥ 0

O primeiro passo é tentar encontrar as raízes da equação do segundo grau:

- 4 x 2 + 12 x - 9 = 0

Usando Bhaskara:

x = - 12 ± 144 - 4 ( - 4 ) ( - 9 ) 2 ( - 4 ) = - 12 ± 144 - 144 - 8 =   - 12 ± 0 - 8

Logo, temos uma única raiz novamente:

x 1 = x 2 = 3 2

Olhando agora pra nossa função, nós temos a = - 4 . Como o coeficiente é negativo, a nossa parábola fica virada para baixo:

Repare que ela é negativa até 3 2 , quando cruza o eixo x e é nula. E depois passa a ser negativa novamente.

Como enunciado quer saber os valores de x que tornam essa equação maior ou igual a zero, e nós não temos valores positivos na função, nós só conseguimos atender a condição dela ser nula. Isso acontece em x = 3 2 , logo a nossa solução é:

x = 3 2

Passo 4

Agora vamos checar o item g):

x 2 + 3 x + 7 < 0

Calculando as raízes da equação, temos:

x 2 + 3 x + 7 = 0

x = - 3 ± 9 - 4 ( 1 ) ( 7 ) 2 = - 3 ± 9 - 28 2

Repara que teríamos uma raiz negativa, então a nossa função não tem raízes reais. Olhando pra forma da equação, nós temos a = 1 , logo nossa parábola é voltada para cima:

Percebe que ela tá sempre acima do eixo x ? Então, podemos dizer que a função é sempre positiva. Como o enunciado quer saber os valores de x que tornam essa equação negativa, a resposta será: NENHUM rs.

Ou seja, o conjunto solução será o conjunto vazio:

S = ∅

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

e) S = - ∞ , 1 2 ∪ 1 2 ,   ∞

f) x = 3 2

g) S = ∅

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