Resolva em R as inequações abaixo:

c) 2 x 2 - 7 x + 6 2 x 2 - 7 x + 5 3 x - 1 ≤ 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu a inequação de segundo grau e pediu pra gente encontrar os valores de x para os quais elas estão definidas no conjunto dos números reais (em R ).

Então, o que nós vamos fazer é encontrar as raízes de cada equação, pra a partir daí montar o gráfico e verificar os intervalos onde a função é negativa ou positiva. Em seguida, nós vamos montar um quadro e fazer o estudo de sinal de cada produto e ver quais os intervalos que satisfazem a inequação.

Vamos lá!

Passo 2

No item c),

2 x 2 - 7 x + 6 2 x 2 - 7 x + 5 3 x - 1 ≤ 0

Vamos separar cada equação e encontrar suas raízes e seus gráficos. Começando com:

2 x 2 - 7 x + 6 = 0

Usando Bhaskara, obtemos:

x = 7 ± 49 - 4 ( 2 ) ( 6 ) 2 ( 2 ) = 7 ± 1 4

x 1 = 2

x 2 = 3 2

Esboçando o gráfico:

Repara que a nossa função só é negativa quando ela corta o eixo x de 3 2 até 2 . Então, temos o intervalo:

3 2 ,   2

Percebeu que agora a gente utilizou os colchetes? É porque a nossa inequação nos diz que o produto das funções é menor ou igual a zero. Se ele pode ser zero, nós incluímos as raízes da função (onde ela zera) e temos um intervalo fechado.

Passo 3

Agora vamos analisar a equação:

2 x 2 - 7 x + 5 = 0

Encontrando suas raízes:

x 1 = 5 2

x 2 = 1

Esboçando o gráfico:

O gráfico é bem parecido com a equação anterior. Repara que ele é negativo apenas de 1 até 5 2 . Então, nosso intervalo é:

B = 1 , 5 2

Por fim, temos a reta:

3 x - 1 = 0

Isolando x pra descobrir onde ela corta o eixo, temos:

x = 1 3

E seu esboço fica assim:

A reta é negativa até 1 3 e depois passa a ser positiva. Então, o intervalo onde ela é negativa é:

C = - ∞ , 1 3

Beleza, agora vamos fazer o estudo de sinais dessas três equações:

Como queremos:

2 x 2 - 7 x + 6 2 x 2 - 7 x + 5 3 x - 1 ≤ 0

Vamos selecionar os intervalos onde o sinal é negativo (olhando pra primeira linha da tabela). Assim, o nosso conjunto solução é:

S = - ∞ , 1 3 ∪ 1 , 3 2 ∪ 2 , 5 2

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

S = - ∞ , 1 3 ∪ 1 , 3 2 ∪ 2 , 5 2

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