Resolva em R as inequações abaixo:

a) 4 x 2 + x - 5 2 x 2 - 3 x - 2 > 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu a inequação de segundo grau com um quociente e pediu pra gente encontrar os valores de x para os quais elas estão definidas no conjunto dos números reais (em R ).

Então, o que nós vamos fazer é encontrar as raízes de cada equação do segundo grau, pra a partir daí montar o gráfico e verificar os intervalos onde a função é negativa ou positiva. Em seguida, nós vamos montar um quadro e fazer o estudo de sinal de cada produto e ver quais os intervalos que satisfazem a inequação, que nesse caso são os locais onde a função é positiva.

Vamos lá!

Passo 2

Temos a inequação:

4 x 2 + x - 5 2 x 2 - 3 x - 2 > 0

Pra encontrar as raízes da equação no numerador, vamos escrever:

4 x 2 + x - 5 = 0

Usando a fórmula de Bhaskara, temos:

x = - 1 ± 1 - 4 ( 4 ) ( - 5 ) 2 ( 4 ) = - 1 ± 81 8

Que nos dá as raízes:

x 1 = - 1 + 9 8 = 1

x 2 = - 1 - 9 8 = - 5 4

Esboçando o gráfico dessa parábola, nós temos:

Repare que a função é positiva até - 5 4 , que é uma de suas raízes, onde ela encosta no eixo x . Depois ela decresce e é negativa, passa no eixo y em - 5 , volta a subir mas continua negativa, até atravessar de novo o eixo x em 1 , onde volta a ser positiva. Escrevendo esses dois trechos onde a função é positiva em forma de intervalo, temos:

A = - ∞ ,   - 5 4 ∪ ( 1 ,   + ∞ )

Passo 3

Pra segunda equação, que tá no denominador, temos:

2 x 2 - 3 x - 2 = 0

Vamos encontrar as raízes usando Bhaskara novamente:

x = 3 ± 9 - 4 ( 2 ) ( - 2 ) 2 ( 2 ) = 3 ± 25 4

Resolvendo:

x 1 = 3 + 5 4 = 2  

x 2 = 3 - 5 4 = - 1 2

Já sabemos onde a função toca o eixo x (em x 1 = 2 e x 2 = - 1 2 ), agora vamos esboçar seu gráfico:

Agora vamos analisar o gráfico. Repare que aqui a função começa positiva, corta o eixo x na sua raiz x 1 = - 1 / 2 , e passa a ser negativa até x 2 = 2 , onde ela corta o eixo x novamente. Depois de 2 , a função volta a ser positiva. Então, o intervalo onde nossa função é positiva vai ser a união desses dois intervalos:

B = - ∞ ,   - 1 2 ∪ 2 ,   + ∞

Passo 4

Beleza, agora vamos analisar como fica o quociente dessas duas funções, que é a nossa inequação: 4 x 2 + x - 5 2 x 2 - 3 x - 2 > 0

Vamos pegar os intervalos A e B que nós encontramos nos passos anteriores e montar a nossa tabelinha para estudar os sinais:

Como a inequação nos diz que o quociente maior do que zero, vamos selecionar os intervalos onde o sinal é positivo (olhando pra primeira linha da tabela). Assim, o nosso conjunto solução é:

S = - ∞ ,   - 5 4 ∪ - 1 2 ,   1 ∪ 2 ,   + ∞

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

S = - ∞ ,   - 5 4 ∪ - 1 2 ,   1 ∪ 2 ,   + ∞

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