Resolva em R as inequações abaixo:

b) x 2 + 2 x x 2 + 5 x + 6 ≥ 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu a inequação de segundo grau com um quociente e pediu pra gente encontrar os valores de x para os quais ela está definida no conjunto dos números reais (em R ).

Então, o que nós vamos fazer é encontrar as raízes de cada equação do segundo grau, pra a partir daí montar o gráfico e verificar os intervalos onde a função é negativa ou positiva.

Em seguida, nós vamos montar um quadro e fazer o estudo de sinal de cada produto e ver quais os intervalos que satisfazem a inequação, que nesse caso são os locais onde a função é positiva ou igual a zero.

Vamos lá!

Passo 2

Temos a inequação:

x 2 + 2 x x 2 + 5 x + 6 ≥ 0

Pra encontrar as raízes da equação no numerador, vamos escrever:

x 2 + 2 x = 0

Usando a fórmula de Bhaskara, temos:

x = - 2 ± 4 - 4 ( 1 ) ( 0 ) 2 ( 1 ) = - 2 ± 4 2

Que nos dá as raízes:

x 1 = - 2 + 2 2 = 0

x 2 = - 2 - 2 2 = - 2

Esboçando o gráfico dessa parábola, nós temos:

Repare que a funç��o é positiva até - 2 , que é uma de suas raízes, onde ela cruza o eixo x . Depois ela passa a ser negativa, até atravessar de novo o eixo x em 0, onde volta a ser positiva. Escrevendo esses dois trechos onde a função é positiva em forma de intervalo, temos:

A = - ∞ ,   - 2 ∪ [ 0 ,   + ∞ )

Percebeu que nós escrevemos o intervalo fechado em - 2 e 0 ? Isso acontece porque a nossa inequação nos diz que ela é maior ou igual a zero, então consideramos também suas raízes.

Passo 3

Pra segunda equação, que tá no denominador, temos:

x 2 + 5 x + 6 = 0

Vamos encontrar as raízes usando Bhaskara novamente:

x = - 5 ± 25 - 4 ( 1 ) ( 6 ) 2 ( 1 ) = - 5 ± 1 2

Resolvendo:

x 1 = - 5 + 1 2 = - 2  

x 2 = - 5 - 1 2 = - 3

Já sabemos onde a função toca o eixo x (em x 1 = - 2 e x 2 = - 3 ), agora vamos esboçar seu gráfico:

Agora vamos analisar o gráfico. Repare que aqui a função começa positiva até cortar o eixo x em - 3 . Aí, ela passa a ser negativa até cortar o eixo x novamente em - 2 . Depois de - 2 , a função volta a ser positiva.

Então, o intervalo onde nossa função é positiva vai ser a união desses dois intervalos. Só que agora esse intervalo vai ser aberto dos dois lados, porque o denominador de uma fração nunca pode ser zero, então não podemos considerar os zeros da função, beleza?

E aí fica assim:

B = - ∞ ,   - 3 ∪ - 2 ,   + ∞

Passo 4

Beleza, agora vamos analisar como fica o quociente dessas duas funções, que é a nossa inequação: x 2 + 2 x x 2 + 5 x + 6 ≥ 0

Vamos pegar os intervalos A e B que nós encontramos nos passos anteriores e montar a nossa tabelinha para estudar os sinais:

Como a inequação nos diz que o quociente maior ou igual a zero, vamos selecionar os intervalos onde o sinal é positivo (olhando pra primeira linha da tabela). Assim, o nosso conjunto solução é:

S = - ∞ ,   - 3 ∪ 0 ,   + ∞

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

S = - ∞ ,   - 3 ∪ 0 ,   + ∞

Exercícios de Livros Relacionados

Use um gráfico para encontrar um número δ tal que se 5x5 + δ então x ² x - 5100 ²
Resolva a inequação.(x - 2) (x + 2)0
Estude o sinal da expressão.3 x - 1 0
Neste exercício você deverá admitir como conhecidas apenas as propriedades A 1 a ( A 4 ) , ( M 1 ) a M 4 , D , O 1 a O 4 , O A e O M . Supondo x , y reais quaisquer, prove: x ∙ 0 = 0
Estude o sinal da expressão.(2 x - 1) (x^2 + 1)