Resolva em R as inequações abaixo:

g) 3 x + 1 ( 2 x + 5 ) ( 5 x + 3 ) < 0

h) 1 - 2 x ( 5 - x ) ( 3 - x ) ≤ 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu algumas inequações (que são equações que não possuem igualdade, lembra?) e pediu pra gente resolver dentro do conjunto dos número reais, ou seja, em R . Tá, mas como a gente resolve isso?

Como temos inequações do primeiro grau (onde o expoente de x é 1 ), resolve-las significa encontrar os valores de x que satisfazem essa condição de desigualdade. No nosso caso, a condição no item g) é:

3 x + 1 2 x + 5 5 x + 3 < 0

E no item h):

1 - 2 x ( 5 - x ) ( 3 - x ) ≤ 0

Quando nós temos um quociente e uma desigualdade, nós precisamos avaliar os sinais tanto do numerador, quanto do denominador, que satisfaçam aquela condição.

Nos dois itens, nós temos uma relação menor do que zero e menor ou igual a zero, respectivamente. Dessa forma, nós vamos avaliar cada caso para encontrar os valores de x que satisfaçam a condição de desigualdade, e escreve-los juntos em um conjunto solução.

Vamos lá!

Passo 2

Começando com o item g, onde temos:

3 x + 1 2 x + 5 5 x + 3 < 0

Quando um quociente de números reais é menor do que zero? Quando numerador e denominador possuem sinais diferentes. Então vamos avaliar os casos possíveis.

Primeiramente, temos:

3 x + 1 < 0 → x < - 1 3

2 x + 5 5 x + 3 > 0

Repare que o denominador é um produto de duas equações. E quando um produto de dois números reais é maior do que zero? Quando eles possuem ambos sinais positivos ou ambos sinais negativos. Então também vamos considerar os dois casos.

Quando ambos são positivos, temos:

2 x + 5 > 0 → x > - 5 2

5 x + 3 > 0 → x > - 3 5

Quando ambos são negativos:

2 x + 5 < 0 → x < - 5 2

5 x + 3 < 0 → x < - 3 5

Unindo os dois resultados, temos o conjunto:

A = - ∞ ,   - 5 2 ∪ - 3 5 ,   + ∞

E do numerador, como calculamos lá em cima, temos B = - ∞ ,   - 1 3 .

Assim, os valores de x que satisfazem simultaneamente as duas inequações estão na interseção dos conjuntos A e B . Nesse caso,

S 1 = A ∩ B = - ∞ ,   - 5 2

Passo 3

E se agora o numerador for positivo e o denominador negativo? Teríamos:

3 x + 1 > 0 → x > - 1 3

2 x + 5 5 x + 3 < 0

Como o denominador é um produto, temos considerar os casos em que cada termo possui sinais diferentes. Assim,

2 x + 5 > 0 → x > - 5 2

5 x + 3 < 0 → x < - 3 5

Ou

2 x + 5 < 0 → x < - 5 2

5 x + 3 > 0 → x > - 3 5

Da interseção desses intervalos, nós tiramos:

S 2 = - 3 5 ,   - 1 3

Assim, nossa solução vai ser a união desses dos conjuntos S 1 e S 2 :

S = S 1 ∪ S 2 = - ∞ ,   - 5 2 ∪ - 3 5 ,   - 1 3

Passo 4

Agora vamos resolver o item h:

1 - 2 x ( 5 - x ) ( 3 - x ) ≤ 0

Nesse caso, temos um quociente que nos fornece um número menor ou igual a zero. Então, o numerador pode ser positivo, negativo ou nulo, e o denominador pode ser positivo ou negativo, nunca igual a zero. Mas lembre que eles devem ter sinais diferentes.

Primeiramente, temos:

1 - 2 x ≤ 0 → x ≥ 1 2

( 5 - x ) ( 3 - x ) > 0

Repare que o denominador é um produto de duas equações. E quando um produto de dois números reais é maior do que zero? Quando eles possuem ambos sinais positivos ou ambos sinais negativos. Então também vamos considerar os dois casos.

Quando ambos são positivos, temos:

5 - x > 0 → x < 5

3 - x > 0 → x < 3

Quando ambos são negativos:

5 - x < 0 → x > 5

3 - x < 0 → x > 3

Unindo os dois resultados, temos o conjunto:

A = - ∞ , 3

E do numerador, como calculamos lá em cima, temos B = 1 2 ,   + ∞ .

Assim, os valores de x que satisfazem simultaneamente as duas inequações estão na interseção dos conjuntos A e B . Nesse caso,

S 1 = A ∩ B = 1 2 ,   3

Passo 5

E se agora o numerador for positivo e o denominador negativo? Teríamos:

1 - 2 x ≥ 0 → x ≤ 1 2

5 - x 3 - x < 0

Como o denominador é um produto, temos que considerar os casos em que cada termo possui sinais diferentes. Assim,

5 - x > 0 → x < 5

3 - x < 0 → x > 3

Ou

5 - x < 0 → x > 5

3 - x > 0 → x < 3

Da interseção desses intervalos, nós tiramos:

S 2 = 5 ,   + ∞

Assim, nossa solução vai ser a união desses dos conjuntos S 1 e S 2 :

S = S 1 ∪ S 2 = 1 2 ,   3 ∪ 5 ,   + ∞

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

g) S = S 1 ∪ S 2 = - ∞ ,   - 5 2 ∪ - 3 5 ,   - 1 3

h) S = S 1 ∪ S 2 = 1 2 ,   3 ∪ 5 ,   + ∞

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