Determine para que valores de x as expressões abaixo fazem sentido (em R ):

b) ( x - 3 ) ( x 2 + 2 x - 8 ) x 2 + 4 x + 3

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu a raiz de um quociente de equações e pediu pra gente encontrar os valores de x para os quais ela está definida no conjunto dos números reais (em R ).

Uma raiz de índice par, precisa ser teu seu radicando maior ou igual a zero, certo? Então, pra que esteja definida em R , temos a condição:

( x - 3 ) ( x 2 + 2 x - 8 ) x 2 + 4 x + 3 ≥ 0

Assim, o que nós vamos fazer é verificar as condições para que essa inequação seja verdade, avaliando os sinais de cada equação separadamente, em cada condição de desigualdade. Em seguida, nós vamos montar uma tabelinha e fazer o estudo de sinais.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar fatorando as equações em cima e embaixo pra ficar mais tranquilo de resolver:

( x - 3 ) ( x - 2 ) ( x + 4 ) ( x + 1 ) ( x + 3 ) ≥ 0

Para que ( x - 3 ) ( x - 2 ) ( x + 4 ) ( x + 1 ) ( x + 3 ) seja maior ou igual a zero, precisamos que numerador e denominador tenham sinais iguais (lembrando que o denominador nunca pode ser zero). Então, num primeiro caso, temos:

( x - 3 ) ( x - 2 ) ( x + 4 ) ≥ 0

( x + 1 ) ( x + 3 ) > 0

Da primeira desigualdade, temos três retas:

x - 3 = 0 → x = 3

x - 2 = 0 → x = 2

x + 4 = 0 → x = - 4

Nós estamos interessados nos locais onde essas funções são positivas. Repara que elas só são positivas depois de atravessar o eixo x . Juntando tudo em um conjunto, temos os intervalos:

A = 3 ,   ∞ ∪ 2 ,   ∞ ∪ [ - 4 ,   ∞ )

Da segunda desigualdade:

( x + 1 ) ( x + 3 ) > 0

Temos as retas:

x + 1 > 0 → x > - 1

x + 3 > 0 → x > - 3

Que são positivas em:

B = - 1 ,   ∞ ∪ ( - 3 ,   ∞ )

Passo 3

Mas ( x - 3 ) ( x - 2 ) ( x + 4 ) ( x + 1 ) ( x + 3 ) também pode ser maior ou igual a zero se:

x - 3 x - 2 x + 4 ≤ 0

x + 1 x + 3 < 0

A raízes e os gráficos são os mesmos nesse caso. O que muda são os intervalos que nós estamos interessados. Por exemplo, pra primeira desigualdade, queremos saber onde a função é negativa ou nula, olhando no gráfico do passo anterior, nós vemos que isso acontece em:

C = - ∞ ,   3 ∪ ( - ∞ ,   2 ] ∪ ( ∞ ,   - 4 ]

E pra segunda equação queremos os valores onde a função é apenas negativa. Isso acontece em:

D = - ∞ ,   - 1 ∪ ( - ∞ ,   - 3 )

Agora vamos estudar os sinais nesses intervalos e ver o que temos:

Lembra que nós definimos no passo 1 :

( x - 3 ) ( x 2 + 2 x - 8 ) x 2 + 4 x + 3 ≥ 0

Então, vamos selecionar os intervalos em que x é positivo ou nulo. Olhando pra primeira linha da tabela, isso acontece em:

S = [ - 4 , -   3 ) ∪ ( - 1 ,   2 ∪ 3 , +   ∞

Que é nosso conjunto solução.

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

S = [ - 4 , -   3 ) ∪ ( - 1 ,   2 ∪ 3 , +   ∞

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