Resolva em R as inequações abaixo:

a) x 2 - x - 2 - x 2 + 4 x - 3 > 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu a inequação de segundo grau e pediu pra gente encontrar os valores de x para os quais elas estão definidas no conjunto dos números reais (em R ).

Então, o que nós vamos fazer é encontrar as raízes de cada equação, pra a partir daí montar o gráfico e verificar os intervalos onde a função é negativa ou positiva. Em seguida, nós vamos montar um quadro e fazer o estudo de sinal de cada produto e ver quais os intervalos que satisfazem a inequação.

Vamos lá!

Passo 2

No item a), temos:

x 2 - x - 2 - x 2 + 4 x - 3 > 0

Pra encontrar as raízes da primeira equação, vamos escrever:

x 2 - x - 2 = 0

Usando Bhaskara, temos:

x = 1 ± 1 + 4 ( 1 ) ( 2 ) 2 ( 1 ) = 1 ± 9 2

Que nos dá as raízes:

x 1 = 1 + 3 2 = 2

x 2 = 1 - 3 2 = - 1

Esboçando o gráfico dessa parábola, temos:

Repare que a função é positiva até - 1 , que é uma de suas raízes, onde ela encosta no eixo x . Depois ela decresce e é negativa, e volta a subir quando passa por 2 , e segue positiva. Então, os intervalos onde a função é positiva são:

A = - ∞ ,   - 1 ∪ ( 2 ,   + ∞ )

Passo 3

Pra segunda equação do produto:

- x 2 + 4 x - 3 = 0

Vamos encontrar as raízes usando Bhaskara:

x = - 4 ± 16 - 4 ( - 1 ) ( - 3 ) 2 ( - 1 ) = - 4 ± 4 - 2

Temos:

x 1 = 1  

x 2 = 3

Esboçando agora o gráfico da equação:

Repare que aqui a função começa negativa, corta o eixo x na sua raiz x 1 = 1 , e passa a ser positiva até x 2 = 3 , onde ela corta o eixo x novamente e passa a ser negativa. Então, o intervalo onde nossa função é positiva é apenas:

B = ( 1 ,   3 )

A partir desses valores, vamos montar a tabelinha e estudar os sinais:

Como queremos:

x 2 - x - 2 - x 2 + 4 x - 3 > 0

Vamos selecionar os intervalos onde o sinal é positivo (olhando pra primeira linha da tabela). Assim, o nosso conjunto solução é:

S = - 1 ,   1 ∪ ( 2 ,   3 )

Vamos pra próxima!

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

S = - 1 ,   1 ∪ ( 2 ,   3 )

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