Resolva em R as inequações abaixo:

g) 2 x + 4 < - 3

h) 1 < x - 1 ≤ 3

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu algumas inequações envolvendo módulo e pediu pra gente encontrar os valores de x para os quais ela está definida no conjunto dos números reais (em R ).

Existe um teorema que nós vamos usar muito, que nos diz que se x pertence a R e a é um número real positivo, então nós podemos escrever x < a na forma:

- a < x < a

Sendo assim, o que nós vamos fazer é sempre tentar escrever a inequação nessa forma para encontrar o intervalo onde x tá variando, beleza?

Vamos lá!

Passo 2

No item g), temos a inequação:

2 x + 4 < - 3

Repara que nós temos um valor absoluto (que é sempre positivo) e ele diz que isso é menor do que o valor negativo - 3 . Percebe a incoerência? Não dá pra dizer que um valor positivo é menor que um negativo, né?

Por isso, nós podemos dizer que não existe solução dentro dos números reais para essa inequação.

Vamos para a próxima!

Passo 3

Na letra h), nós temos:

1 < x - 1 ≤ 3

Vamos analisar primeiro o lado esquerdo da desigualdade:

1 < x - 1

Nós sabemos que se x > a , então x > a ou x < - a . No nosso caso, temos:

x - 1 > 1

x - 1 < - 1

Isolando x nas duas equações, encontramos:

x > 2

E

x < 0

Podemos resumir isso no intervalo:

A = - ∞ ,   0 ∪ ( 2 ,   + ∞ )

Agora vamos olhar pro lado direito da nossa inequa��ão, onde temos:

x - 1 ≤ 3

Nós sabemos que que se se x < a , então x < a ou x > - a , certo? Escrevendo nossa inequação dessas duas formas, temos:

x - 1 ≥ - 3

x - 1 ≤ 3

Isolando x , temos:

x ≥ - 2

x ≤ 4

Podemos escrever isso no intervalo:

B = [ - 2 ,   4 ]

Agora vamos pensar, onde estão os elementos que pertencem a A e a B ao mesmo tempo? A resposta é nossa interseção:

S = A ∩ B = - 2 ,   0 ∪ 2,4

Esse é nosso conjunto solução. Fechou?!

Valeu, galera! 😉

Resposta

g) N ã o   e x i s t e   s o l u ç ã o   e m   R

h) S = - 2 ,   0 ∪ 2,4

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