Resolva em R as inequações abaixo:

i) x 2 - x - 4 > 2

j) 2 x - 3 3 x - 1 > 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu algumas inequações envolvendo módulo e pediu pra gente encontrar os valores de x para os quais ela está definida no conjunto dos números reais (em R ).

Existe um teorema que nós vamos usar muito, que nos diz que se x pertence a R e a é um número real positivo, então nós podemos escrever x < a na forma:

- a < x < a

Sendo assim, o que nós vamos fazer é sempre tentar escrever a inequação nessa forma para encontrar o intervalo onde x tá variando, beleza?

Vamos lá!

Passo 2

No item i), temos a inequação:

x 2 - x - 4 > 2

Repara que nós temos uma equação do segundo grau dentro do módulo, então nós vamos precisar encontrar suas raízes e esboçar seu gráfico pra estudar os sinais. Mas antes, vamos escrever o módulo conforme o teorema:

x 2 - x - 4 > 2

x 2 - x - 4 < - 2

Vamos avaliar cada caso, começando com x 2 - x - 4 > 2 . Subtraindo 2 dos dois lados:

x 2 - x - 6 > 0

Vamos calcular as raízes dessa equação:

x 2 - x - 6 = 0

x = 1 ± 1 + 24 2

Que nos dá:

x 1 = 3       e   x 2 = - 2

Esboçando seu gráfico agora, temos:

Lembra que a inequação que nós estamos avaliando é maior do que zero? Então, vamos olhar para os valores onde a função é positiva. Repare que é começa positiva, até - 2 , passa a ser negativa e depois volta a ser positiva em x = 3 . Então, os valores que satisfazem nossa inequação estão no conjunto:

A = - ∞ ,   - 2 ∪ ( 3 ,   ∞ )

E quando x 2 - x - 4 < - 2 ? Nesse caso, temos:

x 2 - x - 2 < 0

Calculando as raízes da equação:

x 2 - x - 2 = 0

Encontramos:

x 1 = 2         e   x 2 = - 1

Esboçando seu gráfico:

Nossa inequação agora é menor do que zero, então estamos interessados nos valores em que a função é negativa. Isso acontece quando ela tá abaixo do eixo x , de - 1 até 2 . Logo, temos o conjunto:

B = ( - 1 ,   2 )

Juntando tudo, encontramos nossa solução geral para a inequação modular:

S = - ∞ ,   - 2 ∪ - 1 ,   2 ∪ ( 3 ,   ∞ )

Vamos para a próxima!

Passo 3

Na letra j), nós temos:

2 x - 3 3 x - 1 > 2

Usando a propriedade do passo 1 , temos:

2 x - 3 3 x - 1 < - 2

2 x - 3 3 x - 1 > 2

Vamos avaliar a primeira desigualdade e começar somando 2 dos dois lados:

2 x - 3 3 x - 1 + 2 < - 2 + 2

2 x - 3 3 x - 1 + 2 < 0

Colocando tudo no mesmo denominador:

2 x - 3 + 2 ( 3 x - 1 ) 3 x - 1 < 0

8 x - 5 3 x - 1 < 0

Agora precisamos pensar: o que faria esse quociente ser negativo (menor do que zero)? Se o numerador e o denominador tivessem sinais diferente, certo? Então, vamos fazer primeiro:

8 x - 5 > 0 → x > 5 8

3 x - 1 < 0 → x < 1 3

Daí, nós teríamos x maior que 5 8 e menor que 1 3 . Mas isso não seria possível, porque 5 8 > 1 3 . Então, vamos ver a outra possibilidade:

8 x - 5 < 0 → x < 5 8

3 x - 1 > 0 → x > 1 3

Agora sim, tudo ok. E a gente tem:

A = 1 3 , 5 8  

Passo 4

Agora vamos analisar a outra desigualdade:

2 x - 3 3 x - 1 > 2

Subtraindo 2 dos dois lados:

2 x - 3 3 x - 1 - 2 > 0

Colocando tudo no mesmo denominador:

2 x - 3 - 2 ( 3 x - 1 ) 3 x - 1 > 0

- 4 x - 1 3 x - 1 > 0

Multiplicado por - 1 dos dois lados, nós invertemos os sinais:

4 x + 1 3 x - 1 < 0

Agora vamos analisar de novo, o que faz o quociente ser negativo. Nós já sabemos que os sinais do numerador e do denominador precisam ser diferentes. Vamos testar a primeira possibilidade:

4 x + 1 > 0 → x > - 1 4

3 x - 1 < 0 → x < 1 3

Até aqui, tudo ok. Teríamos o intervalo - 1 4 , 1 3 . Agora vamos testar a outra possibilidade:

4 x + 1 < 0 → x < - 1 4

3 x - 1 > 0 → x > 1 3

Não tem como x ser menor que - 1 4 e maior que 1 3 ao mesmo tempo. Então, nosso conjunto é vazio nesse caso, e ficamos apenas com:

B = - 1 4 , 1 3

Juntando A e B temos o conjunto solução da inequação 2 x - 3 3 x - 1 > 2 :

S = - 1 4 , 1 3 ∪ 1 3 , 5 8  

Valeu, galera! 😉

Resposta

i) S = - ∞ ,   - 2 ∪ - 1 ,   2 ∪ ( 3 ,   ∞ )

j) S = - 1 4 , 1 3 ∪ 1 3 , 5 8  

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