Resolva em R as inequações abaixo:

c) x + 1 - 3 x - 3 < 0

d) 5 x - 2 3 x + 4 < 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu algumas inequações (que são equações que não possuem igualdade, lembra?) e pediu pra gente resolver dentro do conjunto dos número reais, ou seja, em R . Tá, mas como a gente resolve isso?

Como temos inequações do primeiro grau (onde o expoente de x é 1 ), resolve-las significa encontrar os valores de x que satisfazem essa condição de desigualdade. No nosso caso, a condição no item c é:

x + 1 - 3 x - 3 < 0

E no item d:

5 x - 2 3 x + 4 < 2

Quando nós temos um quociente e uma desigualdade, nós precisamos avaliar os sinais tanto do numerador, quanto do denominador, que satisfaçam aquela condição.

No caso do item c, como o quociente é menor do que zero (negativo), numerador e denominador precisam ter sinais diferentes. No item d, nós também conseguimos chegar numa relação menor do que zero subtraindo 2 dos dois lados.

Dessa forma, o que nós vamos fazer é avaliar cada caso para encontrar os valores de x que satisfaçam a condição de desigualdade e escreve-los juntos em um conjunto solução.

Vamos lá!

Passo 2

Começando com o item c, onde temos:

x + 1 - 3 x - 3 < 0

Como o nosso quociente é nos fornece um valor negativo (menor do que zero), vamos considerar o caso em que numerador e denominador tenham sinais diferentes:

x + 1 > 0

- 3 x - 3 < 0

Isolando o x nas duas equações, temos:

x > - 1

- 3 x < 3 → x < - 1

Repare que na primeira condição, temos ( - 1 ,   + ∞ ) e na segunda ( - ∞ ,   - 1 ) . Então, a interseção desses dois intervalos vai nos dá:

A = - ∞ ,   + ∞

Certo?

Passo 3

Agora vamos trocar os sinais do numerador e do denominador. Temos:

x + 1 < 0

- 3 x - 3 > 0

Isolando o x em ambas as equações:

x < - 1

- 3 x > 3 → x > - 1

E temos novamente a interseção de ( - ∞ ,   - 1 ) e ( - 1 ,   + ∞ ) no conjunto:

B = ( - ∞ ,   + ∞ )

Assim, nossa solução vai ser a união desses dois conjuntos, que é a mesma coisa:

S = ( - ∞ ,   + ∞ )

Passo 4

Agora vamos resolver o item d:

5 x - 2 3 x + 4 < 2

Vamos começar subtraindo 2 dos dois lados:

5 x - 2 3 x + 4 - 2 < 2 - 2

Resolvendo, temos:

5 x - 2 3 x + 4 - 2 < 0

Agora vamos dar uma arrumadinha, tirando o m.m.c.:

5 x - 2 - 2 ( 3 x + 4 ) 3 x + 4 < 0

- x - 10 3 x + 4 < 0

Agora repare que o nosso quociente é menor do que zero, então ele é negativo. E aí nós sabemos que pra que essa desigualdade ser satisfeita, numerador e denominador precisam ter sinais diferentes. Logo, podemos escrever no primeiro caso:

- x - 10 > 0

3 x + 4 < 0

Agora vamos isolar x nas duas equações:

- x > 10 → x < - 10

Lembra que quando troca o sinal, a gente muda o sinal da desigualdade, beleza? No denominador, temos:

3 x < - 4 → x < - 4 3

Sendo assim, o x precisa ser menor do que - 10 . Então, temos o conjunto:

A = - ∞ ,   - 10

Passo 5

Trocando os sinais agora, temos a segunda possibilidade de os sinais serem diferentes:

- x - 10 < 0

3 x + 4 > 0

Então, isolando x :

- x < 10 → x > - 10

E

3 x > - 4 → x > - 4 3

Como x precisa ser maior que - 4 3 , nesse caso, temos:

B = - 4 3 ,   + ∞

Juntando tudo, temos nosso conjunto solução da inequação 5 x - 2 3 x + 4 < 2 :

S = - ∞ , - 10 ∪ - 4 3 ,   + ∞

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a) S = ( - ∞ ,   + ∞ )

b) S = - ∞ , - 10 ∪ - 4 3 ,   + ∞

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