(Capítulo 29.3 – Exercício 37) Na figura 29-56, quatro fios retilíneos são perpendiculares ao papel e suas seções retas formam um quadrado de aldo a = 13,5   c m . Todos os fios conduzem correntes de 7,50   A e as correntes são para fora do papel nos fios 1 e 4 e para dentro do papel nos fios 2 e 3. Em termos dos vetores unitários, qual é a força magnética por metro de fio que age sobre o fio 4?

Passo 1

Faaaala pessoal, vamos lá pra mais uma!

Nesse exercício, temos 4 fios conduzindo correntes, e queremos encontrar qual a força magnética por metro de fio que age no fio 4

A força entre duas correntes paralelas na presença do campo magnético externo B → é dada por:

F b a → = i b L → × B a →

em que L → é o vetor comprimento do fio. Os vetores L → e B a → são mutuamente perpendiculares e, portanto, de acordo com a equação para fios retilíneos longos, podemos escrever:

F b a = i b L B a s e n 90 ° = μ o L i a i b 2 π d

As forças no fio 4 podem ser decompostas da seguinte forma:

F 4 → = F 14 → + F 24 → + F 34 →

Como estamos lidando com uma disposição dos fios no formato de um quadrado, uma maneira de calcularmos a força magnética no fio 4 pode ser através da decomposição dos vetores de força em componentes x e y . A figura a seguir mostra essa situação.

Passo 2

Como θ = 45 ° porque estamos falando de um quadrado, podemos escrever as seguintes relações:

F 4 x = - F 43 - F 42 c o s θ = - μ o i 2 2 π a - μ o i 2 cos ⁡ 45 ° 2 2 π a   = - 3 μ o i 2 4 π a

F 4 y = F 41 - F 42 s e n θ = μ 0 i 2 2 π a - μ o i 2 s e n 45 ° 2 2 π a = μ o i 2 4 π a

Tendo isso em mãos, podemos calcular o valor de F 4 ! Sabemos do teorema de pitágoras que:

F 4 2 = F 4 x 2 + F 4 y 2

F 4 = F 4 x 2 + F 4 y 2 1 2 = - 3 μ o i 2 4 π a 2 + μ o i 2 4 π a 2 1 2 = 10 μ o i 2 4 π a

F 4 = 10 4 π × 10 - 7   T . m A 7,50   A 4 π ( 0,135   m ) = 1,32 × 10 - 4   N / m

O ângulo que F 4 → faz com o semieixo x positivo é:

ϕ = tan - 1 ⁡ F 4 y F 4 x = tan - 1 ⁡ - 1 3 = 162 °  

Passo 3

Na notação dos vetores unitários, temos:

F 4 → = 1,32 × 10 - 4 N m cos ⁡ 162 ° i ^ + s e n 162 ° j ^ F 4 → = - 1,25 × 10 - 4 N m i ^ + 4,17 × 10 - 5 N m j F 4 → = - 125 μ N m i ^ + ( 41,7 μ N m ) j

Arrasamos!

Resposta

A força magnética por metro de fio é::

F 4 → = - 125 μ N m i ^ + ( 41,7 μ N m ) j

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